Question

${a}^{6} + {b}^{6} + 1 \geqslant 3 \times {b}^{2} \times {a}^{2}$
Demonstrația inegalității.
Șia sta este varianta mea:

Singurul lucru pe care nu îl știu este dacă este plauzibilă, corectă.
Vă rog, dacă puteți, să vă aruncați un ochi sau să-mi spuneți cum ar trebui să fie corect, deoarece chiar îmi doresc să știu cum să fac astfel de exerciții.

Answer 1

Salut,

Aplicăm inegalitatea mediilor pentru numerele pozitive a⁶, b⁶ și 1 (deci pentru 3 numere pozitive), adică Ma ≥ Mg, unde Ma este media aritmetică și Mg este media geometrică:

$\dfrac{a^6+b^6+1}{3}\geqslant\sqrt[3]{a^6\cdot b^6\cdot 1}=a^2\cdot b^2\Rightarrow a^6+b^6+1\geqslant 3\cdot a^2\cdot b^2,\ ceea\ ce\\\\trebuia\ demonstrat.$

Green eyes.