Question

------------
$a + b = 5$
$a^{4} + b^{4} = 97$
------------
a = ? b = ?

Answer 1

a+b = 5

a⁴+b⁴ = 97 ⇔ (a²+b²)² - 2a²b² = 97

⇔ [(a+b)² - 2ab]² - 2a²b² = 97

⇔ (5² - 2ab)² - 2a²b² = 97

⇔ (25 - 2ab)² - 2a²b² = 97

Notez ab = t:

⇔ (25 - 2t)² - 2t² = 97

⇔ 625 - 100t + 4t² - 2t² = 97

⇔ 2t² - 100t + 528 = 0

⇔ t² - 50t + 264 = 0

Δ = 2500 - 4·264 = 1444 = 38²

⇒ t₁,₂ = (50±38)/2 ⇒ t₁ = 6, t₂ = 44

①  t = 6 ⇒ ab = 6, a+b = 5

x² - (a+b)x + ab = 0 ⇔ x² - 5x + 6 = 0 ⇔ x²-3x-2x+6 = 0

⇔ x(x-3)-2(x-3) = 0 ⇔ (x-3)(x-2) = 0 ⇒ x ∈ {2, 3}

⇒ (a = 2 și b = 3) sau (a = 3 și b = 2)

②  t = 44 ⇒ ab = 44, a+b = 5

x² - (a+b)x + ab = 0 ⇔ x² - 5x + 44 = 0

Δ = 25 - 4·44 < 0 ⇒ x ∉ ℝ

Din ① ∨ ② ⇒ (a,b) = {(2,3); (3,2)}