Question

[tex]a,b,c > 0 ,

a,b,c, apartin lui R

Demonstrati ca :

a) (a+b)(b+c)(c+a) \geq 8abc

b) (a^{2} + b^{2} )c+( b^{2} + c^{2} )a+ ( c^{2} + a^{2} )b \geq 6abc[/tex]

Answer 1

a) Împărțim expresia cu 8 și folosim faptul că media aritmetică este mai mare sau egală cu media geometrică:

$\dfrac{a+b}{2}\cdot \dfrac{b+c}{2}\cdot\dfrac{c+a}{2} \geq \sqrt{ab}\cdot\sqrt{bc}\cdot\sqrt{ca}=\sqrt{a^2b^2c^2}=abc.$

De unde rezultă direct inegalitatea cerută.

b) Împărțim expresia cu abc:

$\dfrac{a^2+b^2}{ab}+\dfrac{b^2+c^2}{bc}+\dfrac{c^2+a^2}{ca} \geq 6.$

Demostrăm că fiecare din cele trei fracții e $\geq 2$.

Ceea ce este echivalent cu $\dfrac{a^2+b^2}{ab}-2 \geq 0.$

Luăm expresia din stânga și aducem la același numitor:

$=\dfrac{a^2+b^2-2ab}{ab}=\dfrac{(a-b)^2}{ab} \geq 0\text{ , pentru orice numere pozitive a,b.}$

Celelalte două fracții se demostrează la fel.

În final, adunând cele trei fracții, obținem că ele sunt $\geq 2+2+2=6$  și inegalitatea este demonstrată.