Question

[tex]\\ $Calculati: $(-1)^\big{e}=$ $? \\ \\ $Stiind ca $ e\approx 2.71828182846
\\ $- $e$ (numarul lui Euler) \rightarrow $ numar irational transcendent.[/tex]


Poate fi calculat? Si daca nu, de ce?

Answer 1

Fiind in liceu, o sa fac urmatoarele 2 presupuneri: stii ce sunt numerele complexe, stii ce este derivata unei functii.Pentru a calcula orice fel de numere transcendente care se afla la exponent, poti sa te folosesti de formula lui Euler, care spune ca:$e^{ix}=\cos{x}+i*\sin{x}$
Pentru a demonstra aceasta formula, hai sa ne uitam la urmatoarea functie$f(t)=e^{-it}(\cos{t}+i\sin{t})$ Hai sa derivam aceasta functie$f^{\prime}(t)=(e^{-it})^{\prime}(\cos{t}+i\sin{t})+e^{-it}*(\cos{t}+i\sin{t})^{\prime}=-ie^\{-it}(\cos{t}+i\sin{t})+e^{-it}(-\sin{t}+i\cos{t})=-ie^{-it}\cos{t}-i^{2}e^{-it}\sin{t}-e^{-it}\sin{t}+ie^{-it}\cos{t}=e^{-it}\sin{t}-e^{-it}\sin{t}=0$ unde m-am folosit de
$-i^{2}=-(-1)=1$
$\sin^{\prime}{x}=\cos{x}$
$\cos^{\prime}{x}=-\sin{x}$
Daca derivata este 0. inseamna ca functia respectiva este egala cu o constanta$f(t)=C$ indiferent pentru t numar realDaca t=0 atunci avem$f(0)=e^{0}(\cos{0}+i\sin{0})=1(1+0i)=1$ atunci pentru orice t real avem relatia
$f(t)=1\Rightarrow e^{-it}(\cos{t}+i\sin{t})=1\Rightarrow \cos{t}+i\sin{t}=\frac{1}{e^{-it}}\Rightarrow e^{it}=\cos{t}+i\sin{t}$ care este relatia lui Euler de mai sus
Acum sa vedem cat da aceasta relatie pentru $t=\pi$
$e^{i\pi}=\cos{\pi}+i\sin{\pi}=-1+i0=-1$ Atunci putem scrie relatia din enunt
$(-1)^{e}=(e^{i\pi})^{e}=e^{ie\pi}$ apoi folosindu-ne din nou de relatia lui Euler
$e^{ie\pi}=\cos{e\pi}+i\sin{e\pi}=(-1)^{e}$ si de-aici poti calcula valoarea complexa cu ajutorul functiilor trigonometrice 

Answer 2

Rezolvarea este in poza de mai jos!!!!!Foloseste formula aceea a lui Euler!!Succes!