Question

[tex] Determinati~numarul~de~inversiuni~si~signatura~pentru:\\ \\ \[
a = \bigl(\begin{smallmatrix}
1 & 2 & 3 & \cdots & n & n+1 &n+2 & ...& 2n \\
2 & 4 & 6 & \cdots & 2n & 1 & 3 &...& 2n-1
\end{smallmatrix}\bigr)
\] [/tex]

Answer 1

Salut,

Pentru permutarea din enunț, numărul de inversiuni se calculează așa: pe a doua linie, iau fiecare termen de la stânga la dreapta, începând cu al doilea și număr câți termeni sunt mai mari decât cel analizat, termeni aflați la stânga termenului analizat.

Al doilea termen este 4, în stânga lui numărul de termeni mai mari decât el este 0.

Al treilea termen este 6, în stânga lui numărul de termeni mai mari decât el este tot 0.

Al patrulea termen este 8, în stânga lui numărul de termeni mai mari decât el este tot 0.

...

Termenul 2n este termenul de pe poziția n, în stânga lui nici un termen nu este mai mare decât 2n, deci numărul de termeni este tot 0.

Apoi, termenul de pe poziția n+1 este 1, mai mari decât el avem toți termenii de la 2, 4, 6, ..., 2n (din stânga lui 1), deci avem n termeni mai mari decât 1.

Apoi, termenul de pe poziția n+2 este 3, mai mari decât el avem toți termenii de la 4, 6, ..., 2n (din stânga lui 3), deci avem n -- 1 termeni mai mari decât 3.

...

Termenul de pe poziția 2n este 2n -- 1, mai mare decât el este doar 2n (din stânga lui 2n -- 1), deci avem un termen mai mare decât 2n -- 1.

Adunăm toate aceste valori: 0 + 0 + 0 + ... + 0 + n + n -- 1 + n -- 2 + ... + 1 = n*(n + 1)/2, unde 0 apare de n ori.

Suma este deci n(n + 1)/2, deci --1 la această putere (adică signatura permutării α) este:

$(-1)^{\frac{n(n+1)}2.$

Dacă n = 4k, cu k număr natural nenul, atunci n(n+1)/2 este par, deci permutarea este pară.

Dacă n = 4k+1, cu k număr natural nenul, atunci n(n+1)/2 este impar, deci permutarea este impară.

Dacă n = 4k+2, cu k număr natural nenul, atunci n(n+1)/2 este impar, deci permutarea este impară.

Dacă n = 4k+3, cu k număr natural nenul, atunci n(n+1)/2 este par, deci permutarea este pară.

Green eyes.

Answer 2

Sau daca esti ,,dreptaci" numarul de inversiuni se calculeaza astfel:
-se ia pe rand, de la stanga spre dreapta, fiecare element de pe linia a 2 a si se numara cate elemente mai mici ca ele sunt la dreapta sa
_la final obtinem suma tuturor inversiunilor (a tuturor elementelor) si semnul permutarii va fi 1 sa -1 functie de paritatea sau imparitatea acestei sume
Sa incepem:
-elementul 2=2*1 are un singur element la dreapta sa, mai mic decat el (elem. 1)
-elementul 4=2*2 are 2 elem. mai mici (1,3)
-elementul 6=2*3 are 3 elem. mai mici (1,3)
....
-elementul 2n=2*n are n elemente mai mici (1,3,  ....2n-1), caci elementele pare sunt asezate in ordine crescatoare si nu determina inversiuni
Am ajuns la elementele impare, care fiind asezate in ordine crescatoare nu mai determina alte inversiuni
Deci numarul total de inversiuni este M=1+2+3+...n=n(n+1)/2, care poate fi un numar par sau impar in functie de n
   n=4k sau 4k+2  implica M=4k(4k+1)/2=2k(4k+1) =par deci semnul fiind 1
   n=4k+1   implica M=(4k+1)(4k+2)=(4k+1)(2k+1)=impar deci semnul -1
   n=4k+3   implica M=(4k+3)(4k+4)=(4k+1)(2k+2)=par deci semnul 1

























=par semnul fiind 1