Question

[tex] F(x) = x^3-2x^2-2x+1
\\1.Aratati \:\ ca \:\ polinomul \:\ F \:\ este \:\ divizil \:\ cu \:\ polinomul \:\ x+1
\\ 2.Determinati \:\ numarul \:\ real \:\ a \:\ pentru \:\ care: \\ \:\ \frac{1}{x_1 x_2} + \frac{1}{x_2 x_3} + \frac{1}{x_3 x_1} = a(x_1 x_2+x_2 x_3 + x_3 x_1)

\:\

\\ Unde \:\ x_1 x_2 x_3 \:\ sunt \:\ radacinile \:\
polinomului \:\ F

[/tex]

Answer 1

   
[tex]\displaystyle\\ 1)\\ \text{Daca }~x+1~\text{este divizor al polinomului }f(x),~\text{atunci:}\\ x=-1~ \text{ este solutie a ecuatiei }~f(x)=0\\ f(-1) = (-1)^3-2\cdot (-1)^2-2\cdot (-1)+1 = -1 - 2 + 2 + 1 = 0\\ \Longrightarrow~~\boxed{f(x) ~\vdots~ (x+1)} [/tex]


[tex]\displaystyle\\ 2)\\ \text{Forma generala a polinomului de gradul 3 este:}\\\\ f = ax^3 + bx^2+cx+d\\\\ \text{Vom folosi relatiile lui Viete pentru polinomul de gradul 3.}\\ \text{Acestea sunt:}\\ \begin {cases} x_1+x_2+x_3= \dfrac{-b}{a}\\ x_1x_2+ x_1x_3+ x_2x_3= \dfrac{c}{a}\\ x_1x_2x_3 = \dfrac{-d}{a} \end{cases} [/tex]

[tex]\displaystyle\\ \text{Rezolvare: }\\\\ \frac{1}{x_1 x_2} + \frac{1}{x_2 x_3} + \frac{1}{x_3 x_1} = a(x_1 x_2+x_2 x_3 + x_3 x_1)\\\\ \frac{x_3}{x_1 x_2x_3} + \frac{x_1}{x_1x_2 x_3} + \frac{x_2}{x_1x_2x_3} = a(x_1 x_2+x_2 x_3 + x_3 x_1)\\\\ \frac{x_1 +x_2+x_3}{x_1 x_2x_3} = a(x_1 x_2+x_2 x_3 + x_3 x_1)\\\\ \frac{ \dfrac{-b}{a}}{\dfrac{-d}{a}} = a \cdot \dfrac{c}{a}\\\\ \text{A nu se confunda "a" din ecuatie cu "a" din relatiile lui Viete.}\\\\ \frac{ \dfrac{2}{1}}{\dfrac{-1}{1}} = a \cdot \dfrac{-2}{1} [/tex]


[tex]\displaystyle\\ \frac{ 2}{-1} = a \cdot (-2)\\\\ -2 = -2a\\\\ a = \frac{-2}{-2}\\\\ \boxed{\bf a = 1} [/tex]