Matematică, întrebare adresată de PeakyBlinder, 8 ani în urmă

[tex] Fie~T=$\begin{pmatrix}
-1 & -2 & -3 \\
2 & 4 & 6 \\
1 & 2 & 3
\end{pmatrix} $.~\\~
Sa~se~calculeze~:T^n, ~n\in N^*. [/tex]

albastruverde12: Se demonstreaza prin inductie ca T^n este de forma:
-a_n -b_n -c_n
2a_n 2b_n 2c_n
a_b b_n c_n.
Sirurile a_n, b_n, c_n se gasesc din relatia T^(n+1)=T^n * T... Va rezulta a_{n+1}=6a_n... de unde a_{n+1}=6^n*a_1, deci a_n = 6^(n-1).

Mai eficient este chiar sa demonstram prin inductie ca T^n este de forma
-a_n -2a_n -3a_n
2a_n 4a_n 6a_n
a_n 2a_n 3a_n

albastruverde12: Iar cel mai eficient este cum a rezolvat Danutz98.

PeakyBlinder: Mai era o rezolvare cu Binomul lui Newton, dar e mai complex asa.

albastruverde12: Cu binomul lui Newton nu vad cum ar merge in cazul de fata.
Daca e sa luam toate metodele... se mai poate cu valori proprii sau cu Hamilton-Cayley.

Răspunsuri la întrebare

Răspuns de Rayzen

$T = \left(\begin{array}{ccc}-1&-2&3\\2&4&6\\1&2&3\end{array}\right) \\ \\ T^2 = T\cdot T = \left(\begin{array}{ccc}-1&-2&-3\\2&4&6\\1&2&3\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}-1&-2&-3\\2&4&6\\1&2&3\end{array}\right) = \\ \\ = \left(\begin{array}{ccc}-6&12&-18\\12&24&36\\6&12&18\end{array}\right) = 6 \cdot \left(\begin{array}{ccc}-1&-2&-3\\2&4&6\\1&2&3\end{array}\right) = \\ \\ = 6\cdot T\\ \\ \Rightarrow T^2 = 6^1 \cdot T\quad(1)\\ \\ \\T^3 = T^2\cdot T = (6\cdot T)\cdot T = 6\cdot T^2 = 6\cdot 6\cdot T = 6^2\cdot T\\ \\ \Rightarrow T^3 = 6^2\cdot T\quad (2)$

$\text{Din (1) \c{s}i (2)}~\Rightarrow T^n = 6^{n-1}\cdot T = 6^{n-1}\cdot \left(\begin{array}{ccc}-1&-2&-3\\2&4&6\\1&2&3\end{array}\right) = \\ \\ \\\Rightarrow T^n = \left(\begin{array}{ccc}-6^{n-1}&\cdot -2\cdot 6^{n-1}&-3\cdot 6^{n-1}\\2\cdot 6^{n-1}&4\cdot 6^{n-1}&6\cdot 6^{n-1}\\1\cdot 6^{n-1}&2\cdot 6^{n-1}&3\cdot 6^{n-1}\end{array}\right)$