Question

$\frac{1}{ \sqrt[3]{a}+ \sqrt[3]{b}+ \sqrt[3]{c} }$ - Orice idee este bine-venita.

Answer 1

Salut,

Îți ofer o idee de rezolvare.

Notăm cu m = ∛a, n = ∛b și p = ∛c, deci fracția din enunț devine 1 / (m + n + p).

Parantezele pe care le-am pus indică faptul că întreaga sumă m+n+p este la numitorul fracției.

Ne folosim de relația:

m³ + n³ + p³ - 3mnp = (m + n + p)(m² + n² + p² - mn - mp - np). (1)

Pentru a demonstra această relație plecăm de la:

(m + n + p)³ = [(m + n) + p]² = ..., de aici extragem m³ + n³ + p³ - 3mnp, grupăm termenii asemenea și obținem relația (1) de mai sus.

Relația din enunț, aplicată la relația 1 devine:

$\dfrac{1}{m+n+p}=\dfrac{m^2+n^2+p^2-mn-mp-np}{m^3+n^3+p^3-3mnp}$

Mai ai de făcut o amplificare cu conjugata noului numitor.

Notăm cu A = m³ + n³ + p³ = a + b + c și cu B = m·n·p.

Deci pentru noul numitor de raționalizat am avea că:

$\dfrac{1}{A - 3\sqrt[3]B}}=\dfrac{1}{\sqrt[3]A^3 - \sqrt[3]{27B}}$

Știm că x³ - y³ = (x - y)(x² + xy + y²), deci:

$\dfrac1{x-y}=...$, unde x = ∛A³ și y = ∛(27B), unde atât 27, cât și B se află sub radicalul de ordinul 3.

Eu ți-am scris doar indicații detaliate, te las pe tine să faci calculele. Spor la treabă.

Green eyes.