Question

$\frac{x-3}{2} + \frac{x-4}{3} + \frac{x-5}{4} + ... + \frac{x-2012}{2011}$ + 2010 = 0

Answer 1

$\text{Ecuatia~o~mai~putem~scrie~asa:}~(\frac{x-3}{2}+1)+( \frac{x-4}{3}+1)+...+( \frac{x-2012}{2011}+1)=0.$
$\text{Se~obtine}: (\frac{x-3}{2}+ \frac{2}{2} )+( \frac{x-4}{3}+ \frac{3}{3} )+...+( \frac{x-2012}{2011}+ \frac{2011}{2011} )=0.\\\text{Echivalenta~cu:}~\frac{x-1}{2}+ \frac{x-1}{3}+...+\frac{x-1}{2011}=0\Rightarrow \text{Solutia~este~\fbox{x=1.}}$

Answer 2

Generalizare. Rezolvati ecuatia in $\mathbb{R}$$\frac{x-(n+1)}{n} + \frac{x-(n+2)}{n+1} +...+ \frac{x-(n+k)}{n+(k-1)} +(k-2)=0$,unde $n,k\in \mathbb{N^*}$(sper sa nu gresit undeva)