Question

$\int\ \frac{1+ \sqrt{x} }{1+x} \, dx$ Doresc prin schimbare de variabila

Answer 1

$\int \frac{1+\sqrt{x}}{1+x) } = \int ( \frac{1}{1+x)} + \frac{\sqrt{x}}{1+x) } ) = \int \frac{1}{1+x} + \int \frac{\sqrt{x}}{1+x}$

Acum le luăm separat:

1. [tex] \int \frac{1}{1+x} \ dx; \\ notam \ 1+x = t <=> (1+x)' = t' <=> dx = dt; \\ \int \frac{1}{t} =  ln \ t = ln (x+1) [/tex]

2. [tex] \int \frac{\sqrt{x}}{1+x} \ dx = \int \frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}^2} \ dx; \\ notam \sqrt{x} = t => \sqrt{x}' = t' <=> \frac{1}{2\sqrt{x}} dx = dt;[/tex]

Modificăm integrala iniţială într-un mod convenabil, ca să putem folosi ce am calculat mai sus:

[tex]\int \frac{\sqrt{x}}{1+x} \ dx = \int \frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}^2} \ dx; \\ notam \sqrt{x} = t => \sqrt{x}' = t' <=> \frac{1}{2\sqrt{x}} dx = dt; \\ \int \frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}^2} \ dx = \int \frac{(2\sqrt{x}) \sqrt{x}}{(2\sqrt{x})(1+\sqrt{x}^2)} \ dx [/tex]

(am pus între paranteze ce am adăugat, ca să se observe - acel $2 \sqrt{2}$-)

Înlocuim $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ cu dt (cel rezultat din schimbarea de variabilă):

[tex]\int \frac{2\ t \ t}{1+t^2} dt = 2 \int \frac{ t^2}{1+t^2} dt = 2 \int 1- \frac{1}{1+t^2} \ dt = 2 \int 1 dt - 2 \int \frac{1}{1+t^2} dt \\ \\ =2t - 2 \int \frac{1}{1+t^2} dt \\ \\ \int \frac{1}{1+t^2} dt = arctg \ t[/tex]

De aici presupun că te descurci..

le: aparent site-ul are buguri; văd că s-au bulit formulele ... o_O