Question

$\int\ \sqrt{ x^{2} +a ^{2}} \, dx \ unde a$∈ R°  vreau si eu rezolvarea integralei prin schimbare d variabila

Answer 1

Înțeleg integrala așa:  $\int\sqrt{a^2-x^2}dx$.

Facem schimbarea de variabilă:

$x=a\sin\theta \\ \\ \Rightarrow dx=a\cos\theta \ d \theta \\ \\ \Rightarrow \sqrt{a^2-x^2}=a\cos\theta$

Integrala devine:

$\displaystyle\int a^2\cos^2\theta \ d\theta=a^2\int\dfrac{1+\cos 2\theta}{2}d\theta=a^2\left(\dfrac{\theta}{2}+\dfrac{\sin 2\theta}{4}\right)= \\ \\ \\ =a^2\left(\dfrac{\arcsin\left(\frac{x}{a}\right)}{2}+\dfrac{\frac{x}{a}\cdot \frac{\sqrt{a^2-x^2}}{a}}{2}\right)=...$

Am folosit relația  $\sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta$

Se mai poate aranja puțin...