Question

$\it Determina\c{\it t}i\ \overline{ab}\ \textgreater \ 90, dac\breve{a}\ \overline{ab}\ are\ exact\ 4\ divizori,\ iar\ \overline{ab}-1\ are\ tot\ 4\ divizori$

Answer 1

ab este un  numar >90

a poate fi doar 9, iar b ia valori de la 1 pana la 9 .Pe 0 nu poate sa-l ia, deoarece trebuie sa fie mai mari decat 90.

Excludem numerele prime (cele de la 91 la 99 ) , prime fiind: 97.

Raman: 91,92,93,94,95,96,98,99.

Luam pe cazuri : b=1 => 91 , D(divizorii)={1,7,13,91}

ab-1 =91-1= 90 , 90  nu il luam ca numarul trebuia sa fie mai mare decat 90.

b=2 =>92 are 6 divizori D={1,2,4,23,46,92}, 92-1=91 are 4 divizori.

b=3 => 93 are 4 divizori D={1,3,31,93} , iar ab-1=93-1= 92 are tot 6 divizori.

b=4 =>94 are 4 divizori D={1,2,47,94} , iar ab-1=93 are 4 divizori.

b=5=>95 are 4 divizori D={1,5,19,95} , iar ab-1=94 are tot 4 divizori.

b=6=>96 are 12 divizori, iar ab-1=95 are 4 divizori.

b=7=> 97 are 2 divizori D={1, 97} , iar ab-1=96 are 12 divizori.

b=8 =>98 are 6 divizori  D={1,2,7,14,49,98}, iar ab-1=97 are 2 divizori.

b=9 =>99 are 6 divizori D={1,3,9,11,33,99}, iar ab-1=98 are 6 divizori.

ab poate   94, 95.

Descompunem in factori primi :

91=7*13 => 7 are 2 divizori, 13 are 2 => 91 are 4 divizori.

Pe 90 nu il luam in calcul.

92=2²*23 (are mai multi divizori de 4)

93=3 *31 (are 4 divizori, 3 are 2 , 31 are 2 )

94=2*47(are 4 divizori)

95=5*19(are 4 divizori)

96=2^5 *3 ( 3 are 2 divizori, 2^5/ 32 are 6 divizori, deci 96 nu are 4 div, are 12 (produsul divizorilor factorilor in care se descompune nr.))

98=2*7² (2 are 2 divizori, 7²(49) are 3 divizori)

99=3²*11 ( 11 are 2 divizori, 9 are 3 divizori , deci nr. 99 are 6 divizori)

In urma descompunerii in factori , si calcularea divizorilor, ii excluzi pe cei care nu au 4 divizori, astfel, raman numerele 94 si 95.

Answer 2

ab>90

ab are 4 divizori si ab-1 are 4 divizori

ab are 4 divizori=>ab are 2 divizori improprii (1 si ab) si 2 divizori proprii (m si n; unde m si n sunt numere prime).

ab=m•n

90<m•n≤99

=> m•n∈{2•47;  3•31;  5•19;  7•13}

numere ab care au 4 divizori:

ab∈ {91; 93; 94; 95}  

ab-1 care au  4 divizori:

ab-1∈ {94; 95}  

{91; 93; 94; 95} ∩{94; 95}={94; 95}

ab∈{94; 95}