Question

$\it f:\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R},\ \ f(x) =\begin{cases}\it x^2+ax,\ x\leq1\\ \\x^2+a^2,\ x\ \textgreater \ 1\end{cases}$


Să se determine a ∈ ℝ, pentru care funcția este derivabilă pe ℝ.


Mulțumesc!!!

Answer 1

Răspuns:a={0,1}

Ofunctie   e   derivabila   intr-un  punct   daca   este   continua    in   acel punct.Se   pune  problema   continuitatii  in x=1.Limitele   laterale  trebuie   sa   fie   egale   si     valoarea   functiei in  acel punct  sa   fie   egala   cu   limitele laterale.

Ls: x→1 , x<1lim(x²+ax)=1²+a=a+1

Ld:x→1   x>1 lim(x²+a²)=1²+a²=a²+1

f(1)=1²+a=a+1

a+1=a²+1

a=a²

a²-a=0

a(a-1)=0=>

a=1  a=0

Explicație pas cu pas:

Answer 2

$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},\quad f(x) = \left\{\begin{array}{II}x^2+ax,~~x\leq 1\\ \\ x^2+a^2,~x> 1~ \end{array}\right\\ \\ \text{Pentru } x< 1:\\ x^2+ax\text{ functie elementara continua si derivabila pe }(-\infty,1)\\ \\ \text{Pentru }x > 1: \\ x^2+a^2 \text{ functie elementara continua si derivabila pe } (1,+\infty)$

$\text{Studiem continuitatea in punctul x = 1:} \\ \\ x^2+ax\Big|_{x=1} = x^2+a^2\Big|_{x=1} = f(1) \\ \\ 1+a = 1+a^2 \Rightarrow a(a-1) = 0 \Rightarrow a\in \{0,1\}$

$\text{Studiem derivabilitatea in punctul x = 1:}\\\\\text{Pentru }x \neq 1,~~ f'(x) = \left\{\begin{array}{II}2x+a,~~x < 1\\ \\ 2x~~~~~,~x> 1~ \end{array}\right\\ \\ \text{Functia este derivabila in punctul x = 1 daca:} \\ \\ 2x+a\Big|_{x=1} = 2x\Big|_{x=1} \Rightarrow 2+a = 2 \Rightarrow a = 0$

$\Rightarrow a\in \{0,1\} \cap \{0\} \Rightarrow \boxed{a = 0}$