Question

$\it Fie\ a,b,c\in\mathbb{N}^*,\ astfel\ c\breve{a}\ \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1.\\ \\ \\ S\breve{a}\ se\ arate\ c\breve{a}\ \ a\sqrt{bc}+b\sqrt{ca}+c\sqrt{ab} \leq abc$

Mulțumesc mult !

Answer 1

Voi folosi inegalitatea mediilor.

√(bc) ≤ (b+c)/2 |•2a

2a√(bc) ≤ a(b+c)

Analog:

2b√(ca) ≤ b(c+a)

2c√(ab) ≤ c(a+b)

Adunăm cele trei inegalități obținute:

2[a√(bc) + b√(ca) + c√(ab)] ≤ ab+ac+bc+ab+ca+bc

=> 2[a√(bc) + b√(ca) + c√(ab)] ≤ 2(ab+bc+ca) |:2

=> a√(bc) + b√(ca) + c√(ab) ≤ ab+bc+ca

Dar știm că 1/a+1/b+1/c = 1 |•(abc)

=> ab+bc+ca = abc

=> a√(bc) + b√(ca) + c√(ab) ≤ abc (q.e.d)