Question

$\lim_{n \to \infty} a_n$[tex][/tex]

Answer 1

$\lim\limits_{x\to -\infty}\dfrac{\sqrt{x^2+4x}+3x}{\sqrt[3]{8x^3+10}+x}=\lim\limits_{x\to -\infty}\dfrac{\sqrt{x^2(1+\frac{4}{x})}+3x}{\sqrt[3]{x^3(8+\frac{10}{x^3})}+x} =\\ \\ =\lim\limits_{x\to -\infty}\dfrac{|x|\sqrt{1+\frac{4}{x}}+3x}{x\sqrt[3]{8+\frac{10}{x^3}}+x} =\lim\limits_{x\to -\infty}\dfrac{-x\sqrt{1+\frac{4}{x}}+3x}{x\sqrt[3]{8+\frac{10}{x^3}}+x}=$

$\\=\lim\limits_{x\to -\infty}\dfrac{x\left(-\sqrt{1+\frac{4}{x}}+3\right)}{x\left(\sqrt[3]{8+\frac{10}{x^3}}+1\right)} = \lim\limits_{x\to -\infty}\dfrac{-\sqrt{1+\frac{4}{x}}+3}{\sqrt[3]{8+\frac{10}{x^3}}+1}=$

$\\=\dfrac{-\sqrt{1+\frac{4}{-\infty}}+3}{\sqrt[3]{8+\frac{10}{-\infty}}+1} = \dfrac{-\sqrt{1+0}+3}{\sqrt[3]{8+0}+1} = \dfrac{-1+3}{2+1} = \boxed{\dfrac{2}{3}}$