Question

$\lim_{n \to \infty} n^{2013} /2013^{n}$

Answer 1

$\underset{n\rightarrow \infty}{lim} \dfrac{n^{2013}}{2013^n} \overset{ \frac{\infty}{\infty}(L'H.) }{=} \underset{n\rightarrow \infty}{lim} \dfrac{(n^{2013})'}{(2013^n)'}=\underset{n\rightarrow \infty}{lim} \dfrac{2013n^{2012}}{2013^n\cdot ln2013}\overset{ \frac{\infty}{\infty}(L'H.) }{=}$

$\overset{ \frac{\infty}{\infty}(L'H.) }{=}\underset{n\rightarrow \infty}{lim} \dfrac{(2013n^{2012})'}{(2013^n\cdot ln2013)'}=\underset{......................................................}{Aplicand\quad L'H.\quad de \quad2012\quad ori }=$

$=\underset{n\rightarrow \infty}{lim} \dfrac{2013\cdot 2012\cdot 2011\cdot2010\cdot ...\cdot 1\cdot n^{0}}{2013^n\cdot (ln2013)^{2013}}=\\ \\ \\ =\underset{n\rightarrow \infty}{lim} \dfrac{2013\cdot 2012\cdot 2011\cdot2010\cdot ...\cdot 1\cdot 1}{2013^n\cdot (ln2013)^{2013}} =$


$= \dfrac{2013\cdot 2012\cdot 2011\cdot2010\cdot ...\cdot 1\cdot 1}{2013^\infty\cdot (ln2013)^{2013}} = \dfrac{2013\cdot 2012\cdot 2011\cdot2010\cdot...\cdot 1\cdot 1}{\infty} = \\ \\ =0$


$\Rightarrow \boxed{\underset{n\rightarrow \infty}{lim} \dfrac{n^{2013}}{2013^n} =0}$

[tex]$ \ $Am derivat dupa formulele: \left| \begin{array}{c} (x^n)' = n\cdot x^{n-1} \\ (a^x)' = a^x\cdot ln a \end{array} \right [/tex]