Question

$\lim_{x \to \infty} \frac{ln(e^{12x}+1) }{ln(1+e^{3x}) }$
Cum se rezolva?
Problema AM4 din culegere admitere UPT 2020

Answer 1

Salut,

Uite o rezolvare surpriză de la mine.

Când x tinde la plus infinit, acel 1 care se adună la $e^{12x}$ nu mai are nicio importanță (e ca și cum în oceanul Pacific care are vreo 1 miliard de miliarde de picături, ai mai adăuga o picătură :-))).

Asta înseamnă că la numărăror avem aproximativ $ln(e^{12x})=12x.$

Similar la numitor, am avea aproximativ $ln(e^{3x})=3x.$

Limita noastră devine din 12x/(3x) = 4, deci limita din enunț este 4.

Ai înțeles ?

Green eyes.

P.S. Soluția clasică este una mai laborioasă, cu tot felul de artificii, la examen nu vei avea prea mult timp pentru așa ceva, de aceea trebuie să găsești (unde se poate) soluții rapide și corecte. Soluția de mai sus îndeplinește aceste condiții.

P.P.S. Aș dori să te rog să publici și variantele de răspuns, bine ? Fără ele, enunțul este incomplet, lucru care nu este deloc de dorit pe acest site. Este super bine că scrii codul problemei și anul pentru admitere, așa da, felicitări. În acest fel, îi ajuți pe cei care caută soluții pentru problemele de admitere.

Answer 2

$l =\lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{\ln(e^{12x}+1)}{\ln(1+e^{3x})} = \lim\limits_{x\to \infty}\left(\dfrac{\ln(e^{12x}+1)}{12x}\cdot \dfrac{3x}{\ln(1+e^{3x})}\cdot 4\right)=\\ \\ = \lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{\ln(e^{12x}+1)}{12x}\cdot \lim\limits_{x\to \infty} \dfrac{3x}{\ln(1+e^{3x})}\cdot 4 =\\ \\ =\lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{\ln(e^{12x}+1)}{12x}\cdot \dfrac{1}{\lim\limits_{x\to \infty} \dfrac{\ln(1+e^{3x})}{3x}}\cdot 4 \\ \\= 1\cdot \frac{1}{1}\cdot 4\\ \\ = \boxed{4}$

$\\\textbf{Limit\u{a} remarcabil\u{a}:}\\\\ \lim\limits_{x\to a}\dfrac{\ln\left(e^{u(x)}+1\right)}{u(x)} = 1,\,\text{ dac\u{a} }\lim\limits_{x\to a} u(x)\to \infty$