Question

$\lim_{x \to \infty} ( x^{2} -xln( e^{x}+1 ))$

Answer 1

Salut,

Uite o soluție mai altfel decât cele folosite în mod normal.

Când x tinde la +infinit eˣ + 1 ≈ eˣ, adică eˣ + 1 este aproximativ egal cu eˣ (la valori extrem de mari pentru eˣ acel 1 în plus nu are prea mare importanță).

Deci limita din enunț ar fi așa:

$L \approx\lim_{x\to+\infty}(x^2-x\cdot lne^x)\approx\lim_{x\to+\infty}(x^2-x^2\cdot lne)\approx\lim_{x\to+\infty}(x^2-x^2)=0.$

Green eyes.

Answer 2

E nedeterminare de forma ∞-∞, care trebuie transformata prin echivalenta, in nedeterminare de forma 0/0, sau ∞/∞, pentru a aplica regula lui l'Hospital. 
$\lim_{x \to \infty}( x^{2} -xln(e^x+1))=- \lim_{x \to \infty} ln( \frac{e^x+1}{e^x})^x=$$-ln \lim_{x \to \infty}[(1+ \frac{1}{e^x})^ {e^x}]^ \frac{x}{e^x}=-lne^\lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^x}$=$-ln(e^0)=0$,
(avem: $\lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^x}= \lim_{x \to \infty} \frac{(x)'}{(e^x)'}= \lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^x}=0)$