Question

$log_{3-2x} x^{2} \leq 1$

Answer 1

In general $\log_{a} a=1$ deoarece $\log_{a} b=c\Rightarrow a^{c}=b$
Deci pentru c=1 si b=a ar iesi $a^{1}=a$ Ceea ce este corect

a poate fi orice valoare rationala, inclusiv a-3-2x
Atunci avem:

$\log_{3-2x} x^{2}\leqslant 1\Rightarrow \log_{3-2x} x^{2}\leqslant \log_{3-2x} 3-2x\Rightarrow x^{2}\leqslant 3-2x \Rightarrow  x^{2}+2x-3\leqslant 0$
$x^{2}+3x-x-3\leqslant 0 \Rightarrow x(x+3)-(x+3) \leqslant 0 \Rightarrow (x+3)(x-1)\leqslant 0$
La ultima inegalitate, avem radacinile x1=-3, x2=1, de unde obtinem ca:
pentru x<x1. ambele paranteze sunt negative, produsul lor e pozitiv, nu se indeplineste conditia

pentru x>x1 si x<x2. prima paranteza este pozitiva, a doua negativa,produsul lor este negativ, ceea ce cautam noi
pentru x>x2, ambele sunt pozitive, produs pozitiv, nu este ce ne intereseaza
deci x este in intervalul (-3,1)
Pentru ca poate fi si 0, atunci x ar apartine lui [-3.1] insa mare atentie!!
Daca x=1, atunci 3-2x=3-2=1, si baza logaritmului ar fi 1, ceea ce e imposibil. Atunci, x apartine lui [-3,1)