Question

$log _{ \frac{x+4}{2} } (log _{2} \frac {2x-1}{3+x})\ \textless \ 0$
Determinati M a numerelor reale x.

Answer 1

log((x + 4) / 2) * log2((2*x - 1) / (3 + x)) < 0

 

C.E.

i. (x + 4) / 2 > 0 ⇒ x > -4

ii. (2x - 1) / (3 + x) > 0 ⇒ x ∈ (-inf, -3) ∪ (1/2, inf)

din i și ii ⇒ x ∈ (-4, -3) ∪ (1/2, inf)

log(x) < 0 ⇔ x < 1, log2(x) < 0 ⇔ x < 1 

 

log((x + 4) / 2) < 0 și log2((2*x - 1) / (3 + x)) > 0

⇒ (x + 4) / 2 < 1 ⇔ x + 4 < 2 ⇔ x < -2  [1]

⇒ (2*x - 1) / (3 + x) > 1 ⇔ 2*x - 1) / (3 + x) - 1 > 0 ⇔ x ∈ (-4, -3) ∪ (4, inf)  [2]

din C.E, [1], [2] ⇒ x ∈ (-4, -3)

 

log2((2*x - 1) / (3 + x)) < 0 și log((x + 4) / 2) > 0

⇒ (2*x - 1) / (3 + x) < 1 ⇒ x ∈ (-3, 4)  [3]

⇒ (x + 4) / 2 > 1 => x > -2  [4]

din C.E, [3], [4] ⇒ x ∈ (1/2, 4)

astfel x ∈ (-4, -3) ∪ (1/2, 4)