Question

$Notam~cu~a~si~b~solutiile~ecuatiei~z^2+z+1=0.~Calculati~partea~reala~si\\ \\ modulul~numarului~c=a^{2012}+b^{2012}.$

Answer 1

.....................................

Answer 2

Deoarece a este soluție pentru ecuația z² + z + 1 = 0 , rezultă:

$\it a^2+a+1=0 \Rightarrow \begin{cases}\it a^2=-a+1 \ \ \ \ \ \(1)\\ \\\it (a-1)(a^2+a+1)=0 \Rightarrow a^3-1=0 \Rightarrow a^3=1\ \ \ \ (2)\end{cases}\\ \\ \\ a^{2012} =a^{2010} \cdot a^2 =(a^3)^{670}\cdot a^2\ \stackrel{(2)}{=} 1\cdot a^2 =a^2\ \stackrel{(1)}{=}\ -a-1 \\ \\ \\ Analog,\ rezult\breve{a}: \ b^{2012} =-b-1$

$\it c = -a-1-b-1 =-(a+b)-2$

Relațiile lui Viète pentru ecuația din enunț implică a + b = -1

Deci, c = - (-1) - 2 =1 - 2 = -1 ∈ ℝ

|c| = |-1| = 1