Question

$Sa~se~calculeze~partea~intreaga~a~numarului~: \\ 1+ \frac{1}{ 2^{2} } + \frac{1}{ 3^{2} } +...+ \frac{1}{ n^{2} } ~ ,n~apartine~lui~N~stelat$

Answer 1

Putem face urmatoarea observatie
$n^{2}>n*(n-1)\Rightarrow \frac{1}{n^{2}}<\frac{1}{n(n-1)}$ pentru n>1
Dar mai stim ca
$\frac{1}{n(n-1)}=\frac{n-(n-1)}{n(n-1)}=\frac{n}{n(n-1)}-\frac{n-1}{n(n-1)}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$
Inlocuim acum in relatia de mai sus
$\frac{1}{n^{2}}<\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$
Si acum scriem aceasta relatie de la n-2 pana la 2
$\frac{1}{(n-1)^{2}}<\frac{1}{n-2}-\frac{1}{n-1}$
$\frac{1}{(n-2)^{2}}<\frac{1}{n-3}-\frac{1}{n-2}<span>$
........................................................................................
$\frac{1}{(4)^{2}}<\frac{1}{3}-\frac{1}{4}<span>$
$\frac{1}{(3)^{2}}<\frac{1}{2}-\frac{1}{3}<span>$
$\frac{1}{(2)^{2}}<1-\frac{1}{2}<span>$
Si acum adunam toate aceste relatii si notam cu S
$S=\frac{1}{n^{2}}+\frac{1}{(n-1)^{2}}+\frac{1}{(n-2)^{2}}+...+\frac{1}{(4)^{2}}+\frac{1}{(2)^{2}}+\frac{1}{(2)^{2}}<\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}+\frac{1}{n-2}-\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n-3}-\frac{1}{n-2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+<span>1-\frac{1}{2}=1-\frac{1}{n}</span>$ adica este mai mica decat 1, dar mai mare decat 0 pentru orice n>1. Deci S este de ex 0.001, poate fi, care are partea intreaga 0
Atunci partea intreaga a acelei sume este
$[S]=0$ si observi ca pentru a obtine numarul din expresie mai trebuie sa adunam 1, deci partea intreaga a numarului este 1.