Question

$\sqrt{3- \sqrt{5}}+ \sqrt{3+ \sqrt{5}}=?$

Answer 1

a = rad₁ + rad₂                toata egalitatea o ridicam la puterea 2
a² = 3 - √ 5  + 2 rad₁ ·rad₂ + 3 +√5 =  6 + 2 rad₁ ·rad ₂
                                                                   ↓
                                                                   2  
 
rad₁· rad₂ =( √3-√5 ) (√3+√5) = √3²-(√5)²= √9 -5 =√4 =2
a²=6 + 2·2 = 10 ⇒                   a = rad₁ +rad ₂= √10

Answer 2

Utilizam formula radicalilor dubli.
$\sqrt{A+ \sqrt{B} } = \sqrt{ \frac{ A+C }{2} }+\sqrt{ \frac{A-C}{2} } ,~respectiv \\ \sqrt{A- \sqrt{B} } = \sqrt{\frac{A+C}{2} }- \sqrt{ \frac{A-C}{2} } ,~unde~C= \sqrt{ A^{2}-B } .$

In acest caz avem A=3 si B=5. 
$C= \sqrt{ 9-5 }= \sqrt{4}=2.$

$\sqrt{3- \sqrt{5} } +\sqrt{3+ \sqrt{5} } =( \sqrt{ \frac{3+2}{2} } - \sqrt{ \frac{3-2}{2} })+( \sqrt{\frac{3+2}{2} }+ \sqrt{ \frac{3-2}{2} })= \\ = \sqrt{\frac{5}{2} }- \sqrt{ \frac{1}{2} }+ \sqrt{\frac{5}{2}}+ \sqrt{ \frac{1}{2} } =2 \sqrt{ \frac{5}{2} }=2* \frac{ \sqrt{10} }{2}= \boxed{\sqrt{10} }.$