Question

$\sqrt{5x - 6 = x}$
Cât face radical 5 x minus 6 egal cu x ​

Answer 1

$\sqrt{5x-6} =x$

Conditii de existenta :

Functia redical este definita pe valori pozitive sau 0. Deci argumentul de sub radicat trebuie sa fie mai mare sau egal decat 0.

5x-6>=0

5x>=6

x>=6/5  --> x apartine [6/5,infinit]

Conditii de compatibilitate :

Stim ca radicalul poate lua doar valori pozitive sau 0. Deci trebuie ca x sa fie mai mare sau egal decat 0.

x >= 0 --> x apartine  x apartine [0,infinit]

Intersectia celor doua conditii este multimea [6/5, infinit).

Rezolvare :

Ridicam la patrat :

$5x-6=x^{2}$

$x^{2} -5x+6=0$

Rezolvam ecuatia de grad II :

$x^{2} -5x+6=x^{2} -2x-3x+6 = x(x-2)-3(x-2) = (x-2)(x-3)$

$(x-2)(x-3) = 0$

Ecuatia este adevarata daca si numai daca x este 2 sau x este 3.

Observam ca ambele valori (2 si 3) sunt in intervalul [6/5, infinit). Deci solutia ecuatiei este S={2,3}

Verificare :

$\sqrt{2*5-6} = \sqrt{4} =2 (Adevarat)$

$\sqrt{3*5-6} = \sqrt{9} =3 (Adevarat)$

Nota :

• Ecuatia de gradul 2 poate fi rezolvata si cu formulele specifice ($delta = b^2-4ac$, $x_1=\frac{-b+delta}{2a}$ , $x_2=\frac{-b-delta}{2a}$). Eu am ales varianta cu descompunerea (care ne scuteste de cateva calcule).
• Puteam sari peste pasul de scriere a conditiilor de existenta/compatibilitate dar in acest caz verificarea solutiilor in final este obligatorie, solutiile care nu verifica ecuatia initiala fiind eliminate (e posibil ca ridicarea la putere para sa introduca noi solutii eronate, aceasta nefiind o functie injectiva. Din acest motiv solutiile gresite trebuie verificate si eliminate). In cazul in care am scris corect conditiile de existenta/compatibilitate si am verificat ca solutiile gresite sunt in interval atunci verificarea din final prin subtitutia necunoscutei cu solutiile gasite este optionala, dar recomandata.