Question

$\text{Aflati}~x\in \mathbb{Z}~\text{astfel~incat~nr.}~\sqrt{x+2012}~\text{si}~ \sqrt{x-2012}~\text{sa~fie~simultan~naturale.}$

Answer 1

Sa observam pentru inceput ca x trebuie sa fie cel putin egal cu 2012 (in caz contrar, cel de-al doilea radical nu ar fi definit). Deci practic, putem spune ca x este natural.

Deoarece $\sqrt{x+2012}~si~ \sqrt{x-2012}$ sunt naturale, rezulta ca exista doua numere naturale a si b, astfel incat $\sqrt{x+2012} =a~si~ \sqrt{x-2012}=b.$

Prin ridicari succesive la patrat, obtinem:
$a^{2} =x+2012 \\ b^{2}=x-2012.$

$a^{2}- b^{2}=(a+b)(a-b) \\ a^{2} - b^{2} =(x+2012)-(x-2012)=4024. \\ Asadar,~(a+b)(a-b)=4024.$

Avem 4024=1*4024=2*2012=4*1006=8*503.

Numerele a si b fiind naturale, rezulta ca (a+b)>(a-b). Mai mult, (a+b) si (a-b) au aceeasi paritate, si cum produsul lor este par, atunci si ele trebuie sa fie pare.

Convin urmatoarele cazuri:

$\left \{ {{a+b=2012} \atop {a-b=2}} \right. ~si~ \left \{ {{a+b=1006} \atop {a-b=4}} \right. .$

Adunand relatiile din fiecare sistem, obtinem:
La primul sistem: 2a=2014 => a=1007 => b=1005.
La al doilea sistem: 2a=1010 => a=505 =>b=501.

Pentru a=1007, avem $x+2012=1007^{2} =>x=1012037.$
Pentru a=505, avem $x+2012= 505^{2} =>x=253013.$

Solutie: x∈{253013 ; 1012037}.