Question

$\text{Demonstrati~ca~pt.~orice~nr.}~n\in\mathbb{N},~\text{nr.}~ \sqrt{ 2013^{n}+2015}~\text{este~irational.}$

Answer 1

Observam ca $2013^{n}$ este un multiplu de 3.
2015=671*3+2.

$\sqrt{2013^{2}+2015 } = \sqrt{ M_{3}+ M_{3}+2 }= \sqrt{ M_{3}+2 } .$
Niciun patrat perfect nu poate avea forma $M_{3}+2,$deci numarul din enunt este irational.

------------------------------------------
Orice numar natural ,m, are forma m=$M_{3} +k$, unde k reprezinta resturile obtinute prin impartirea la 3, deci k∈{0,1,2}.

$m^{2} =( M_{3}+k)^{2}= M_{3} + k^{2}$

$m^{2}= M_{3} +${0;1;4}=$M_{3}$+{0,1} => niciun patrat perfect nu poate fi de forma $M_{3}+2.$