Question

[tex]\text{Rezolvati~in}~\mathbb{Z}~\text{ecuatia:}\\
( 2015^{x}+ \frac{1}{ 2015^{x}})\cdot (1+ x^{2} )=2. [/tex]

Answer 1

Adevarat...solutia este 0. Ramane de demonstrat ca este si unica.

Pentru x>0, avem $2015^{x}+ \frac{1}{ 2015^{x} }>2015~si~1+ x^{2} >2$, si prin urmare $(2015^{x}+ \frac{1}{2015^{x} })(1+ x^{2} )>2*2015=4030,$ deci nu convine.

Pentru x<0, avem $\frac{1}{2015 ^{x} } \geq 2015$, si deci prima paranteza este mai mare decat 2015, in timp ce a doua este mai mare decat 2. Deci si in cazul acesta, $(2015^{x} + \frac{1}{2015 ^{x} })(1+ x^{2} )>4030,$ deci nu convine.

Astfel, rezulta ca x=0 este unica solutie a ecuatiei.