Question

$\text{Sa se demonstreze ca}:~ 1+ \frac{1}{2^{3} } + \frac{1}{3^{3} } + \frac{1}{4^{3} } +...+ \frac{1}{2005^{3} } \ \textless \ \frac{5}{4} .$

Answer 1

$\displaystyle Fie ~k \in N^*. \\ \\ Atunci~ \frac{1}{k^3}\ \textless \ \frac{1}{k^3-k} \Rightarrow \sum\limits^n_{k=2} \frac{1}{k^3} \ \textless \ \sum\limits^n_{k=2} \frac{1}{k^3-k} . \\ \\ \\ Insa~ \sum\limits^n_{k=2} \frac{1}{k^3-k}= \sum\limits^n_{k=2} \frac{1}{(k-1)k(k+1)}= \frac{1}{4}- \frac{1}{2n(n+1)} . ~(demon- \\ \\ \\ stratia~este~in~poza~de~mai~jos). \\ \\ \\ Asadar:~ \sum\limits^{2005}_{k=1} \frac{1}{k^3} =1+ \sum\limits^{2005}_{k=2}\ \textless \ 1+ \frac{1}{4}- \frac{1}{2n(n+1)}\ \textless \ \frac{5}{4} ~.$

Ok...cand eram in clasa a 8-a evitam sa folosesc simbolul "sigma" (chiar daca cunosteam intelesul sau). Deci daca ai vreo neclaritate din pricina acestui simbol, pot sa reformulez.

In poza de mai jos este demonstratia pentru cazul in care suma se termina in 1/n(n+1)(n+2), iar in cazul de fata suma se termina in 1/(n-1)n(n+1)...de aceea rezultatul este 1/4-1/2n(n+1).

Observatie: Inegalitatea este valabila pentru orice numar natural (nu doar pentru 2005)... 5/4 este o limita care nu poate fi depasita sau atinsa.