Question

TG 42 Se consideră triunghiul ABC cu perimetrul P = 3√2+2√3+√6 şi măsurile unghiurilor direct proporţionale cu numerele 3, 4, 5. Să se afle aria triunghiului ABC.
a) √6 + √2
b) √6 +3
c) √3+3
d) 4√3
e) 3√3+3
f) 6+ √2 3T​

Answer 1

Răspuns:

c) 3 + rad3

Explicație pas cu pas:

A/3 + B/4 + C/5 = A+B+C / 3+4+5 = 180°/12 = 15°, de unde ne rezulta unghiurile triunghiului:

A= 45°, sin 45° = rad2 /2

B = 60°, sin 60° = rad3 /2

C = 75°, sin 75° = rad6 + rad2 / 4

sin 75° = sin(45° + 30°) = sin 45° cos 30° + sin30° cos 45° =

rad2 /2 rad3 /2 + 1/2 rad2 /2 = rad6 + rad2 / 4.

T. sinusilor:

a/sinA = b/sinB = c/sinC = (abc/2S = 2R =) a+b+c / sinA+sinB+sinC =

P / rad2 /2 + rad3 /2 + (rad6 + rad2) / 4 =

P /  (2rad2 + 2rad3 + (rad6 + rad2))/4 =

P / (3rad2 + 2rad3 + rad6)/4 =

P / P/4 = 4, de unde ne rezulta laturile a si c:

a = 4sinA = 4rad2 /2 = 2rad2

c = 4sinC = 4(rad6 + rad2)/4 = rad6 + rad2.

Aabc = acsinB /2 =

2rad2 (rad6 + rad2) x  rad3 /2 : 2 =

rad6(rad6 + rad2) / 2 =

6 + 2rad3 / 2 =

3 + rad3, deci varianta c) este raspunsul CORECT.

P.S. Foarte frumoasa problema.

Answer 2

$\it Not\breve am\ m\breve asurile\ celor \ trei \ unghiuri \ cu\ x,\ y,\ z.\\ \\ \dfrac{x}{3}=\dfrac{y}{4}=\dfrac{z}{5}=\dfrac{x+y+z}{3+4+5}=\dfrac{180^o}{12}=15^o\Rightarrow \begin{cases}\ \it x=3\cdot15^o=45^o\\ \\ \it y=4\cdot15^o=60^o\\ \\ \it z=5\cdot15^o=75^o\end{cases}$

$\it Not\breve am\ a,b,c\ lungimile\ laturilor\ opuse\ respectiv\ unghiurilor\ x,\ y,\ z\ .$

Cu teorema sinusurilor, vom avea:

$\it \dfrac{a}{sin45^o}=\dfrac{b}{sin60^o}=\dfrac{c}{sin75^o}=\dfrac{a}{\dfrac{\sqrt2}{2}}=\dfrac{b}{\dfrac{\sqrt3}{2}}=\dfrac{c}{\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}}=\\ \\ \\ =\dfrac{a+b+c}{\dfrac{2\sqrt2+2\sqrt3+\sqrt6+\sqrt2}{4}}=\dfrac{4(3\sqrt2+2\sqrt3+\sqrt6)}{3\sqrt2+2\sqrt3+\sqrt6}=4 \Rightarrow\\ \\ \\ \Rightarrow \begin{cases}\ \it a=4\cdot sin45^o=4\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}=2\sqrt2\\ \\ \\ \it c=4\cdot sin75^o=4\cdot\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}=\sqrt6+\sqrt2\end{cases}$

$\it \mathcal{A}=\dfrac{a\cdot c\cdot sin60^o}{2}=\dfrac{\not2\sqrt2(\sqrt6+\sqrt2)\cdot\dfrac{\sqrt3}{\not2}}{2}=\dfrac{\sqrt6(\sqrt6+\sqrt2)}{2}=\\ \\ \\ =\dfrac{6+2\sqrt3}{2}=3+\sqrt3\\ \\ \\ R\breve aspunsul\ corect\ este\ \ c)\ \ \sqrt3+3$