Question

TG 43 - culegere admitere UPT 2020. Exista astfel de triunghi? daca da, cum se rezolva problema? Problema: Se considera un triunghi cu propietatea ca lungimile laturilor se sunt trei numere naturale consecutive si unul din unghiuri are masura egala cu dublul altui unghi. Atunci suma lungimilor laturilor sale este? exista posibilitatea ca acest triunghi sa nu existe.​

Answer 1

Salut,

Rezolvarea de mai jos se referă la figura alăturată.

Conform enunțului, avem așa:

AB = x, AC = x + 1 și BC = x + 2, unde evident că x > 0 (lungimea unei drepte nu poate fi negativă).

m(∡A) = 2·m(∡C).

m(∡A) + m(∡B) + m(∡C) = 180° ⇔ 2·m(∡C) + m(∡B) + m(∡C) = 180° ⇒

⇒ m(∡B) = 180° -- 3·m(∡C) (1).

sinB = sin(180° -- 3C) = sin180°·cos(3C) -- cos(180°)·sin(3C) = sin(3C) (2).

sin(3C) = 3·sinC -- 4·sin³C (3).

Din relațiile (2) și (3) avem că:

sinB = sinC·(3 -- 4·sin²C) = sinC·[3 -- 4·(1 -- cos²C)] ⇔

⇔ sinB = sinC·(4·cos²C --1) (4).

Aplicăm teorema sinusului în triunghiul ABC:

$\dfrac{x}{sinC}=\dfrac{x+2}{sinA}\Leftrightarrow\dfrac{x}{sinC}=\dfrac{x+2}{sin(2C)}\Leftrightarrow\\\\\Leftrightarrow\dfrac{x}{sinC}=\dfrac{x+2}{2\cdot sinC\cdot cosC}\Rightarrow 2\cdot cosC=\dfrac{x+2}{x}\ (5).$

Am simplificat cu sinC, care sigur nu ia valoarea zero.

Aplicăm încă o dată teorema sinusurilor și ținem cont de relația (2):

$\dfrac{x+1}{sinB}=\dfrac{x}{sinC}\Leftrightarrow\dfrac{x+1}{sinC\cdot(4\cdot cos^2C-1)}=\dfrac{x}{sinC}\Leftrightarrow\\\\\Leftrightarrow\dfrac{x+1}{4\cdot cos^2C-1}=x\Rightarrow 4\cdot cos^2C=1+\dfrac{x+1}x\ (6).$

Din nou, am simplificat cu sinC, care sigur nu ia valoarea zero.

Ridicăm la pătrat relația (5) și egalăm membrul ei drept cu membrul drept al relației (6):

$\dfrac{(x+2)^2}{x^2}=1+\dfrac{x+1}x\Leftrightarrow \dfrac{x^2+4x+4}{x^2}=\dfrac{2x+1}x\Bigg{|}\cdot x^2\Rightarrow\\\\\Rightarrow x^2+4x+4=2x^2+x\Rightarrow x^2-3x-4=0\Leftrightarrow(x-4)(x+1)=0.$

De aici avem că x₁ = --1 < 0, soluție care nu convine și

x₂ = 4, care este soluție acceptată.

Perimetrul cerut este: P = x + x + 1 + x + 2 = 3x + 3 = 3·4 + 3 = 15,

deci perimetrul este 15, răspunsul corect este a.

Ai înțeles rezolvarea ?

Green eyes.