Question

TG 69 din culegerea de admitere UPT 2020

Answer 1

Salut,

Fie C punctul simetric a lui A față de punctul B, deci punctul B se află egal depărtat de punctele A și C. Asta înseamnă că:

$x_B=\dfrac{x_A+x_C}2\Rightarrow 2x_B=x_A+x_C\Leftrightarrow 2\cdot 1=-2+x_C,\ deci\ x_C=4.$

$y_B=\dfrac{y_A+y_C}2\Rightarrow 2y_B=y_A+y_C\Leftrightarrow 2\cdot 2=3+y_C,\ deci\ y_C=1.$.

Deci punctul C are coordonatele C(4,1).

Prima bisectoare (o putem nota cu d₁) are panta m₁ = 1 (vezi figura de mai jos).

Cum dreapta (d) este paralelă cu prima bisectoare, avem că panta dreptei d este:

md = m₁ = 1.

Știm panta dreptei d și știm că trece prin punctul C, deci ecuația dreptei d este:

$y-y_C=m_d\cdot (x-x_C)\Rightarrow y-1=x-4,\ deci (d):\ x-y-3=0.$

Distanța de la punctul A la dreapta (d), adică lungimea dreptei AM este:

$d(A,d)=AM=\dfrac{|a\cdot x_A+b\cdot y_A+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\dfrac{|1\cdot (-2)+\cdot (-1)\cdot 3-3|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\\\\=\dfrac{|-2-3-3|}{\sqrt 2}=\dfrac{8}{\sqrt2}=\dfrac{8\cdot\sqrt2}2=4\cdot\sqrt2.$

Răspunsul corect este deci e, adică $4\sqrt 2.$.

Ai înțeles rezolvarea ?

Green eyes.