Question

Titlul la lectie este~Modalitati de a arata ca un sir este monoton~
Trebuie rezolvate B,C,D,va multumesc

Dunga aceea neagra este de la telefon...

Answer 1

 n ∈ n 
b .  an - a(n +1) = n² /( n +1)  - ( n +1)² / ( n +1+1 )  = n² / ( n +1)  - ( n+ 1)² / ( n +2)
            = [ n² · ( n +2)  -  ( n +1)³ ] / ( n +1)· ( n +2) 
             = [ n³ + 2n² - n³ -3n² - 3n - 1 ] / ( n +1) · ( n +2) 
              = [ - n² - 3n - 1 ] / ( n +1) · ( n +2) = - [ n² + 3n + 1 ] / ( n +1)· ( n +2) ≤ 0
cu n∈ N                                                                poz.          poz.       poz 
           ⇒          a(n)  - a(n +1) ≤ 0 
                         a(n)  ≤  a( n +1 )  monoton crescator  
c.        a( n ) - a(n +1) = n / ( n² + 1)  - ( n +1) / [( n +1)² + 1] =
                           = n / ( n² + 1) -  ( n +1) / ( n² + 2n + 2) 
                       = [ n·( n² + 2n +2) -  ( n +1) ·( n² + 1) ] / ( n +1)·( n² + 2n + 2) =
                        = [ n³ + 2n² + 2n  - n³ - n² - n - 1 ] /( n +1)·( n² + 2n +2) = 
                        = [ n²  + n  -1 ] / ( n +1) · ( n² + 2n +2)  ≥ 0 
                                poz              poz            poz 
               ⇒   a(n)  -a( n +1) ≥ 0 
                       a(n) ≥ a ( n +10  monoton descrescator
d .       a(n) -  a(n +1)  = n ·( n +2) / ( n +1) -  ( n +1) ( n+ 3) / ( n+ 2) =
a(n +1) = ( n +1) ·( n +3) / ( n +2) 
                 = ( - n²  -3n -3 ) / ( n +1)· ( n +2) ≤ 0 
                         neg                 poz       poz 
       a(n) ≤ a( n +1) monoton crescator