Question

Toate cele 4, vă rog (și câteva explicații unde este posibil).
50 de puncte plus coroniță, promit.

Answer 1

Hello, interesante probleme, o sa incerc sa le explic.

Prima problema - Fie x numarul de mere, ce erau la inceput, deci inainte de a adauga altele, erau 10*x mere, deoarece erau 10 cutii. Acum, in prima cutie se adauga 1 mar, in a doua - 2 si asa mai departe, deci se vor adauga: 1 + 2 + ... + 9 + 10 = 10*11/2 = 55, deci vor fi 10*x + 55, iar daca 10*x + 55 = 145, atunci x = 9.

A doua problema - Incepem prin a calcula termenul general al progresiei: An = 11 + (n - 1)*8 = 8*n - 8 + 11 = 8*n + 3, acum acest rezultat ne spune deja ca vor fi 0 patrate perfecte in progresie, deoarece (8*n + 3) mod 4 = 3, iar patratele perfecte mod 4, va returna 0 sau 1, de ce? Uite aici o demonstrare simpla:
Fie n numarul ce-l cercetam.
1) n este par => n = 2*k <=> n² = 4*k², (4*k²) mod 4 = 0.
2) n este impar => n = 2*k + 1 <=> n² = 4*k² + 4*k + 1, (4*k² + 4*k + 1) mod 4 = 1.
Deci vor fi 0 patrate perfecte.

A treia problema - Sunt mai multe metode de a rezolva aceasta problema, eu am ales una cu o rezolvare simpla, insa ideea e putin mai complicata, deci progresia va fi: a, a + r, a + 2*r. Deci termenul maxim e: a + 2*r, acum a + 2*r trebuie sa fie mai mic sau egal cu 12, ca sa apartina multimii, deci: a + 2*r <= 12 <=> a <= 12 - 2*r. Un caz concret, r = 1, deci a <= 12 - 2 <=> a <= 10, in acest caz, o sa existe 10 progresii, deoarece a va putea fi orice numar intre 1 si 10, adica 10 numere. Acum observam ca r <= 5, deci r va avea valorile: 1, 2, 3, 4, 5. Pentru fiecare din ele a va fi mai mic egal ca: 10, 8, 6, 4, 2, deci numarul total va fi suma acestora va fi: 10 + 8 + 6 + 4 + 2 = 30.(Tot e suma unei progresii, asta e destul de frumos), acum a doua parte poate fi facuta mai 'oficial', adica sa nu enumeram valorile lui r, si sa cream o alta progresie cu r = - 2, dar rezultatul e acelasi, si e mai greu de inteles, poate. Ok, dar daca n-ai inteles ceva, intreaba.

A patra problema - Stim ca suma unghiurilor intr-un triunghi e 180°, putem nota A - x, B - x + r, C - x + 2*r, deci x + x + r + x + 2*r = 180 <=> 3*x + 3*r = 180 <=> 3*(x + r) = 180 <=> x + r = 60, stim ca x + r = 60, deasemenea am notat B cu x + r, deci B = 60°.

Sper ca te-am ajutat, daca ai intrebari, scrie in comentarii!