Question

Trapezul ABCD ( AD paralel cu BC) are diagonalele egale. Demonstrati ca ABCD este trapez isoscel

Answer 1

Am atasat desenul.
a) In ΔABC dreptunghic in C avem m(<ABC)=60 grade, deci m(<BAC)=30 grade.
Cum AD=BC=24 cm rezulta ca trapezul este isoscel, deci are unghiurile de la baza congruente, deci 
m(<BAD)=m(<ABC)=60 grade=m(<BAC)+m(<CAD)=30+m(<CAD), de unde:
m(<CAD)=30 grade
Deci in ΔABC dreptunghic in C avem cateta BC care se opune unghiului <BAC de 30 de grade, deci BC este jumatate din ipotenuza AB, adica
AB=2*24=48 cm.
<ABC si <BCD sunt suplementare (adica au suma masurilor=180 grade, deoarece sunt formate de AB || CD de aceeasi parte a secantei BC, interioare), deci m(<BCD)=180-m(<ABC)=180-60=120 grade
Dar m(<BCD)=120 grade=m(<BCA)+m(<ACD)=90+m(<ACD), deci
m(<ACD)=120-90=30 grade
Observam ca ΔACD este isoscel cu m(<CAD)=m(<ACD)=30 grade, deci AD=CD=24 cm
Asadar perimetrul trapezului ABCD=AB+AD+CD+BC=48+3*24=120 cm

Trapezul ABCD fiind isoscel, inseamna ca are si diagonalele AC si BD congruente, iar din ΔABC dreptunghic in C avem, cu teorema lui Pitagora:
, de unde:

AC=24 cm

b) Cum AC perpendicular pe BC, rezulta ca si BD perpendicular pe AD, iar unghiurile <AOD si <BOC sunt opuse la varf, deci congruente, prin urmare ΔAOD ≡ ΔBOC (C.U.), deci AO≡BO.
Cum m(<OAD)=30 grade, rezulta ca, cateta OD, care se opune unghiului de 30 grade, este jumatate din ipotenuza OA Notam OD=a si aplicam teorema lui Pitagora in ΔAOD:





a=8, deci
OA=OB=2a=16 cm