Question

Trapezul ABCD are AB || CD, AD = BC = a și AB = 2a. Arătați că AC perpendicular pe BC. Am nevoie de ajutor. Pls!

Answer 1

din poza atasata aplicam sin si cos
sin(B)=h/a=[√(a^2-x^2)]/a (1)
cos(CAB)=(2a-x)/AC=(2a-x)/√(5a^2-4ax)  (2)
egalam (1) cu (2) si sa vedem daca exista solutie reala pentru x
(a^2-x^2)/a^2 = (2a-x)^2/(5a^2-4ax) simplificam ambii membrii cu a^2
si notam x/a = t
1-t^2=(4-4t+t^2)/(5-4t) de unde rezulta ecuatia in t
4t^3-6t+1=0
4t^3-2t^2-4t^2+1=0
2t^2(2t-1)-(2t-1)(2t+1)=0
(2t-1)(2t^2-2t-1)=0 ⇒ 2t-1=0 ⇒ t=1/2 ⇒ x/a=1/2, a=2x ⇒ ∡B=60°

in concluzie exista solutie reala pentru x astfel incat tr. ACB sa fie dreptunghic in C si in consecinta AC⊥BC
exista si a doua solutie data de 2t^2 - 2t -1=0
t=(1+√3)/2≈1,36
a=x(√3-1)

am folosit formula sin(A)=cos(90-A)
in rest e algebra pura 
ti-am pus si un grafic sugestiv ca sa arate ca exista 2 solutii reale pozitive pentru x