Question

Trapezul isoscel ABCD are AB//CD, AB=2 4cm, CD=10cm iar m(unghiului A)=60°. Aflati:a) aria trapezului;b) lungimile diagonalelor trapezului;c)distanta de la punctul C la dreapta AD

Answer 1

Inaltimea DF_|_AB
AF=(AB-DC)/2=(24-10)/2=7cm
In triunghiul DFA:
tg A=DF/AF
√3=DF/7 deci DF=7√3cm
$A=\frac{(AB+CD)*DF}{2}= \frac{34*7\sqrt{3}}{2}=119\sqrt{3}~cm^2$

FB=AB-AF=24-7=17 cm
Pitagora in triunghiul DFB
DF²+FB²=BD²
(7√3)²+17²=BD²
BD²=289+147 deci BD=√436=2√109 cm

d=CE
Prelungesti AD si BC si notezi intersectia cu T, astfel obtinand un triunghi isoscel TAB.
TDC si TAB:
<T comun
<D=<A corespondente
deci ΔTDC≈ΔTAB
TD/AT=DC/AB=TC/TB
In triunghiul DFA: F=90 si A=60 deci F=30 grade
Cateta opusa unghiului de 30 de grade este ipotenuza/2 deci AD=2*AF=2*7=14 cm
TD/AT=DC/AB
DC/AB=10/24=5/12
AT=TD+AD=TD+14
inlocuiesti in raportul TD/AT=DC/AB
TD/TD+14=5/12
12TD=5*(TD+14)
7TD=70=>TD=10 cm deci triunghiul TDC echilateral
h=EC
EC=$\frac{TD\sqrt{3}}{2}= \frac{10\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}~cm$

Answer 2

Ducem inaltimea din D pe dreapta AB si o notam DE,E apartine dreptei AB.Cunoastem m(unghiului A)=60° iar in ∆AED stim m(unghiului E)=90°,si astfel obtinem m(unghiului D)=30°.Cunoastem lungimea [DC]=10cm,iar AB//CD.Ducem inaltimea din C notata cu CF. Dat fiind ca AB//CD=>DC//EF=>CD=EF=10cm. Trapezul este isoscel iar laturile AE si FB sunt egale.AB=24cm,EF=10cm,AE+FB=AB-EF=24-10=14,ele fiind egale=> AE=FB=24:2=14:2=7cm. Acum aplicam cos (A)=cateta alaturata/ipotenuza. Cos(A)=AE/AD Cos 60°=1/2 1/2=7/AD=>AD=14cm. AD=CB,deoarece sunt paralele in trapez isoscel. Aplicam Teorema lui Pitagora in ∆ADE,dreptunghic in E=>AD^2=AE^2+ED^2=> 14^2=7^2+ED^2=> ED^2=196-49= 147=> ED=7√3 Aria=([Baza mare+baza mica)*inaltime]/2=> Aria=[(24+10)*7√3]/2=> Aria=34*7√3/2=119√3cm^2 Aplicam Teorema lui Pitagora in ∆DCA=> Ac^2=AD^2+DC^2=> AC^2=14^2+10^2=> Ac^2=296 AC=2√74cm. In trapez,diagonalele sun egale=>AC=BD=2√74cm Si distanta cred ca e AC=2√74cm.