Question

Trapezul isoscel ABCD are AB || CD
AB > CD. Daca DC = CB = 12 cm si m(CAB) = 30 de grade , Calculati:
a) lugimea bazei mari [AB]
b) aria trapezului si lungimea diagonalei

Answer 1

in trapez isoscel diagonalele sunt egale, AC=BD, unghiurile de la baze sunt congruente, laturile neparalele congruente
∡CAB=∡ACD=30° alterne interne
triunghiurile DOC si AOB sunt asemenea
∡ODC=∡OBA alterne interne
∡DOC si ∡AOB opuse la varf
triunghiurile sunt si isoscele
OF si OE sunt inaltimi si mediane, in concluzie:
∡OAB=∡OBA=30°
∡ODC=∡OCD=30°
∡CBD=∡CDB (tr. DCB e isoscel) ⇒ ∡CBD=∡ODC=30° ⇒ ∡B=∡A=60° ⇒
⇒ ∡GCB=90-∡B=30° ⇒ GB=BC/2=6,  (T∡30°)
AB=AH+HG+GB=DC+2GB=12+12=24 (evident ca AH=GB)

aria trapez
A=(AB+DC)*CG/2, CG=√(CB^2 - GB^2)=√(12^2 - 6^2)=6√3 cm
A=(24+12)*6√3/2
A=108√3 cm2

cu pitagora

AC=BD=√(AG^2+CG^2)=√18^2+36*3) =12√3 cm

Answer 2

a. ABCD-trapez isoscel AB║CD unde AB>CD ,DC=CB=12cm si m(<CAB)=30 de grade;
DC║AB ⇒m(<CAB)=m(<DCA)=30 de grade(<alterne interne);
AD=DC=12 cm ⇒ΔADC-Δisoscel deci m(<DCA)=m(<ADC)=30 de grade;
In trapezul isoscel ABCD obtinem ca m(<DAB)=m(<CBA)=30+30=60 de grade.
ΔCAB :m(<ACB)=90 de grade si m(<CAB)=30 de grade ⇒conform teoremei <30 de grade ca
AC=2CB ⇒AC=24cm .
Aplicam teorema lui Pitagora in ΔCAB -dr in C si obtinem
AB=√24²-12²=√576-144=√432=12√3cm ;
b. A=(b+B)·h/2
Construim CH⊥AB ,H∈(AB).
CH=AC·CB/AB=24cm·12cm/12√3cm =8√3cm;
A=(12cm+12√3cm)·8√3cm/2
A=12(1+√3)cm·4√3cm=48√3(1+√3)cm²(aria trapezului ABCD);
d=AC ⇒d=24cm(lungimea diagonalei);