Matematică, întrebare adresată de leo500, 8 ani în urmă

Trebuie calculat doar A^n, va rog sa ma ajutați

Anexe:

albatran: faci din aproape in aproape cu aj punctului a)

albatran: nup e mai complicat

albatran: cred ca la elem a23 e un bug adiac al a62 mai apreceva

albatran: darde laa63 e gata

albatran: probleam e ca B^2 nu e O2....calculweaz si tu cinstiot si vezi

albatran: o as ai doar A=A^2

albatran: o as ai doar A +A^2

albatran: A^2= I3+2B+C unde C este matricea cu toateelo 0 eceptand a23 care este 1

florin3364: asta e problema de olimpiada .....

florin3364: cu licenta in matematica (obtinuta acum 25 de ani, fara sa practic in domeniu, totuci ceva ceva inca mai stiu) mi-a luat ceva timp pana sa gasesc formula :)

Răspunsuri la întrebare

Răspuns de florin3364

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

Observam ca:

$A^2 = \left[\begin{array}{ccc}1&1&2\\0&1&1\\0&0&1\end{array}\right] * \left[\begin{array}{ccc}1&1&2\\0&1&1\\0&0&1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1&2&5\\0&1&2\\0&0&1\end{array}\right]$

$A^3 = \left[\begin{array}{ccc}1&1&2\\0&1&1\\0&0&1\end{array}\right] * \left[\begin{array}{ccc}1&2&5\\0&1&2\\0&0&1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1&3&9\\0&1&3\\0&0&1\end{array}\right]$

$A^4 = \left[\begin{array}{ccc}1&1&2\\0&1&1\\0&0&1\end{array}\right] * \left[\begin{array}{ccc}1&3&9\\0&1&3\\0&0&1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1&4&14\\0&1&4\\0&0&1\end{array}\right]$

Notam prin Aₙ matricea:

$A_{n}= \left[\begin{array}{ccc}1&n&\frac{n*(n+3)}{2} \\0&1&n\\0&0&1\end{array}\right]$

Si demonstram prin inductie matematica relatia: Aₙ = Aⁿ, pentru orice n numar natural diferit de 0

$A_{1}= \left[\begin{array}{ccc}1&1&\frac{1*(1+3)}{2} \\0&1&1\\0&0&1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1&1&\frac{4}{2} \\0&1&1\\0&0&1\end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc}1&1&2 \\0&1&1\\0&0&1\end{array}\right] = A^1$

Presupunem ca Aₙ = Aⁿ si demonstram ca Aₙ₊₁ = Aⁿ⁺¹

$A^{n+1} = A^n*A = A_{n}*A= \left[\begin{array}{ccc}1&n&\frac{n*(n+3)}{2} \\0&1&n\\0&0&1\end{array}\right]*\left[\begin{array}{ccc}1&1&2\\0&1&1\\0&0&1\end{array}\right] =$

$= \left[\begin{array}{ccc}1+0+0&1+n+0&2+n+\frac{n*(n+3)}{2}\\0+0+0&0+1+0&0+1+n\\0+0+0&0+0+0&0+0+1\end{array}\right] =$

$= \left[\begin{array}{ccc}1&(n+1)&\frac{4+2n+n^2+3n}{2}\\0&1&(n+1)\\0&0&1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1&(n+1)&\frac{n^2+5n+4}{2}\\0&1&(n+1)\\0&0&1\end{array}\right] =$

$\left[\begin{array}{ccc}1&(n+1)&\frac{(n+1)(n+4)}{2}\\0&1&(n+1)\\0&0&1\end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc}1&(n+1)&\frac{(n+1)[(n+1)+3]}{2}\\0&1&(n+1)\\0&0&1\end{array}\right]=A_{n+1}$