Question

trebuie sa aflu monotonia pe intervalul (1/e, 1) a functiei f(x)=x^2 + 2*ln(x); (x la patrat + (2 inmultit cu logaritm natural din x))

Answer 1

Domeniul  de  definitie: x>0.
Calculezi  derivata intai
f`(x)=2x+2/x=(2x²+2)/x≠0 ∀x>0
2x²+2>0  ca  suma  de  2  nr  pozotive. x>0  Deci  f`(x)>0 pt  x>0  ,(1/e,1)⊂(0,∞) => f `(x)>o  pe  acest  interval.Atunci  f(x) este monoton crescatoare  pe  intervalul considerat
Metoda  2
Fie 1/e<x1<x2<1
f(x1)-f(x2)=(x1²-x2²)+2lnx1/x2
Deorece  x1  <  x2   atunci si x1²-x2²  deci  paranteza  e strict negativa  x1<x2 =>  x1/x2<1=> lnx1/x2<0
Deci  x1²-x2²+2lnx1/x2<0=>
f(x1)<f(x2) => f(x1)<f(x2) => f  este  monoton crescatoare