Question

Trebuie să demonstrez că aceste mulțimi sunt marginite. Vă rog din suflet. Nu prosti, să mă ajute cine știe foarte bine, nu rezolvări de pe net. Eu chiar îmi doresc să înțeleg
​

Answer 1

Răspuns:

a) prin definitie, sinx este o functie marginita, ea apartinand intervalului inchis [-1; 1]. In acest caz, -1 este limita inferioara, iar 1 este limita superioara.

b) (2n)/(n+1) = (2n+2-2)/(n+1) = (2n+2)/(n+1) - 2/(n+1) = 2 - 2/(n+1)

2 este o constanta, asadar trebuie sa studiem fractia 2/(n+1). Numaratorul este constant, iar pe masura ce numitorul creste, valoarea fractiei scade si invers. Asadar, valoarea maxima a lui 2/(n+1) este cea pentru care n este minim, adica 0 (cel mai mic numar din multimea numerelor naturale N). Deci avem 2/0+1 = 2/1 = 2, iar in acest caz avem 2 - 2 adica 0 (limita inferioara).

Asa cum am spus adineauri, pe masura ce numitorul creste, valoarea fractiei scade. Astfel, cu cat n este mai mare, cu atat fractia 2/(n+1) este mai mica. De aceea, ea va tinde la 0 (gandeste-te ca il impart pe 2 la un numar foarte foarte mare), dar nu il va lua si pe 0. Daca 2/(n+1) tinde la 0, atunci avem 2 - 0 = 2 (limita superioara).

c) $\sqrt{n+1}$ - $\sqrt{n}$ = 1 /($\sqrt{n+1}$ + $\sqrt{n}$) (rationalizarea numitorului)

Astfel, valoarea maxima a acestei fractii este pentru n minim (vezi b)). Minimul lui n este 0, astfel ca avem 1/(1+0) = 1/1 = 1 (limita superioara).

Pe masura ce n creste, numitorul va scade, astfel ca limita inferioara este 0 (gandeste-te ca il impart pe 1 la un numar extrem de mare). Din nou, fractia doar tinde la 0, fara sa o ia.

d) maximul lui 48/(n+1) este pentru n minim, adica 0, si avem 48/1 = 48 (limita superioara).

minimul lui 48/(n+1) este 0 (limita inferioara - vezi c)).

e) minimul lui x^2 este 0, deci minimul lui (x^2 + 1) este 1. Deci, maximul lui 2/(x^2+1) este 2/1 = 2 (limita superioara).

Indiferent daca x tinde la infinit sau la - infinit, x^2 va tinde mereu la infinit, intrucat este pozitiv. Logic vorbind, 2/infinit este 0 (limita inferioara).

f) (x+1)/(x^2+x+1) = (x^2+x+1-x^2)/(x^2+x+1) = (x^2+x+1)/(x^2+x+1) - x^2/(x^2+x+1) = 1 - x^2/(x^2+x+1)

Numerele x^2 si x^2+x+1 sunt ambele pozitive, deci raportul lor este mereu pozitiv.

Comparam numerele x^2+x+1 si x^2 :

x^2+x+1                               x^2  (scadem x^2 din ambii membri)

x+1                                        0

x                                           -1

Asa cum am spus adineauri, x^2/(x^2+x+1) este mereu pozitiv, deci cea mai mica valoare pe care o poate lua este 0. In acest caz, numaratorul ar fi 0, deci avem x^2=0, deci x=0. Deci avem 1 - 0 = 1 (limita superioara).

Limita inferioara este mai greu de calculat, insa conform geogebra, pentru x=-2, x^2/(x^2+x+1) ia valoarea maxima, adica 4/3. Deci limita inferioara este 1- 4/3, adica -1/3.