Question

Trei dintre vˆarfurile tetraedrului ABCD se proiecteaz˘a ˆın centrele
de greutate ale fet¸elor opuse. Demonstrat¸i c˘a tetraedrul este regulat.

Answer 1

Fie M proiectia punctului A pe planul (BCD) si N proiectia punctului N pe planul (ADC). Pentru ca M este centrul de greutate al triunghiului BCD, iar N cel al triunghiului ADC, M apartine BE si N apartine AE, unde E este mijlocul segmentului CD.

Deoarece AM⊥(BCD) rezulta ca AM⊥CD, deci CD⊥AM
Deoarece BN⊥(ACD) rezulta BN⊥CD, deci CD⊥BN

Astfel CD⊥AM, BN de unde CD⊥(ABE) si rezulta CD⊥BE, CD⊥AE

Relatia CD⊥BE arata ca in triunghiul BCD, BE este atat mediana cat si inaltime, ca atare trunghul este isoscel, deci BC≡BD

Relatia CD⊥AE arata ca triunghiul ADC este isoscel, deci AC≡AD

(1) Cu alte cuvinte, din faptul ca proiectiie din varfurile A si B pe fetele opuse sunt centrele acestora, a rezultat: AC≡AD si BC≡BD

In probema se spune ca trei proiectii sunt in centrele de greutate ale fetelor opuse, fie acestea cele din varfurile A, B si C

Atunci, concuzia relatiei (1) pentru varfurile A si C este : AB≡AD si CB≡CD, iar pentru varfurile B si C: BA≡BD si CA≡CD

Practic, de aici: AB≡AC≡AD≡BC≡BD≡CD, deci tetraedrul este regulat