Question

trei numere sunt invers proportionale cu numerele 0,(1); 0,(2); 0,(3) si suma patratelor este 441. aflati cele 3 numere .

Answer 1

Daca cele trei numere sunt invers proportionale cu 0,(1), 0,(2) si 0,(3), atunci ele vor avea ca numitori inversele celor trei de mai sus.
Fie numerele necunoscsute x,y si z.

Calculam inversele lui 0,(1), 0,(2) si 0,(3):
$\frac{1}{0,(1)}=\frac{1}{\frac{1}{9}} = 1 * 9 = 9 \\ \frac{1}{0,(2)}=\frac{1}{\frac{2}{9}}=1*\frac{9}{2}=\frac{9}{2} \\ \frac{1}{0,(3)}=\frac{1}{\frac{3}{9}}=1*\frac{9}{3}=3$

Atunci, ne rezulta urmatoarea relatie:
$\frac{x}{9}=\frac{y}{\frac{9}{2}}=\frac{z}{3}=k$

Le vom scrie in functie de k:
$x=9k \\ y = \frac{9}{2}k = \frac{9k}{2} \\ z = 3k$

Suma patratelor este 441, deci:
$(9k)^2+(\frac{9k}{2})^2+(3k)^2=441 \Rightarrow 81k^2+\frac{81k^2}{4}+9k^2=441 \\ \Rightarrow 4*81k^2+81k^2+4*9k^2=4*441 \Rightarrow 324k^2+81k^2+36k^2=1764 \\ \Rightarrow 441k^2=1764 \Rightarrow k^2=\frac{1764}{441} \Rightarrow k^2=\frac{4*441}{441} \Rightarrow k^2=4 \Rightarrow k=2.$

Atunci avem x=9k = 9 * 2 => x = 18
y = 9k/2 = (9 * 2)/2 => y = 9
z = 3k = 3 * 2 => z = 6