Trei robinete pot umple un bazin astfel: primul impreuna cu al doilea in 2 ore si 24 de minute, primul impreuna cu al treilea in 3 ore, iar al doilea impreuna cu al treilea in 4 ore. In cat timp ar putea umple bazinul fiecare robinat in parte?
Răspunsuri la întrebare
Răspuns de
12
x= timpul în care umple bazinul primul robinet dacă curge singur; (în minute)
y= timpul în care umple bazinul al doilea robinet dacă curge singur; (în minute)
z= timpul în care umple bazinul al treilea robinet dacă curge singur; (în minute)
C=capacitatea bazinului (în litri)
Debitul unui robinet este (cantitatea de apă - în litri - ce curge în unitatea de timp minut).
Debitul primului robinet este:
![D_I=\dfrac{C}{x}\ \ l/min D_I=\dfrac{C}{x}\ \ l/min](https://tex.z-dn.net/?f=D_I%3D%5Cdfrac%7BC%7D%7Bx%7D%5C+%5C+l%2Fmin)
![D_{II}=\dfrac Cy\ \ l/min D_{II}=\dfrac Cy\ \ l/min](https://tex.z-dn.net/?f=D_%7BII%7D%3D%5Cdfrac+Cy%5C+%5C+l%2Fmin)
![D_{III}=\dfrac{C}{z}\ \ l/min D_{III}=\dfrac{C}{z}\ \ l/min](https://tex.z-dn.net/?f=D_%7BIII%7D%3D%5Cdfrac%7BC%7D%7Bz%7D%5C+%5C+l%2Fmin)
Într-un anumit număr N de minute, printr-un robinet curg N·D litri de apă, unde D este debitul său. Deci:
![144\left(\dfrac Cx+\dfrac Cy\right)=C; 144\left(\dfrac Cx+\dfrac Cy\right)=C;](https://tex.z-dn.net/?f=144%5Cleft%28%5Cdfrac+Cx%2B%5Cdfrac+Cy%5Cright%29%3DC%3B)
(1)
Facem notațiile:
, împărțim fiecare ecuație la C și obținem ecuațiile:
![144(a+b)=1; 144(a+b)=1;](https://tex.z-dn.net/?f=144%28a%2Bb%29%3D1%3B)
![180(a+c)=1; 180(a+c)=1;](https://tex.z-dn.net/?f=180%28a%2Bc%29%3D1%3B+)
, din care obținem:
![a+b=\dfrac{1}{144}; a+b=\dfrac{1}{144};](https://tex.z-dn.net/?f=a%2Bb%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B144%7D%3B)
(2)
![b+c=\dfrac{1}{240} b+c=\dfrac{1}{240}](https://tex.z-dn.net/?f=b%2Bc%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B240%7D)
Adunăm ultimele trei ecuații, apoi împărțim ecuația obținută la 2 și obținem:
(3)
Înlocuim pe rând câte o ecuație din (2) în (3) și obținem:![c=\dfrac{1}{720};\ \ b=\dfrac{1}{360};\ \ a=\dfrac{1}{140} c=\dfrac{1}{720};\ \ b=\dfrac{1}{360};\ \ a=\dfrac{1}{140}](https://tex.z-dn.net/?f=+c%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B720%7D%3B%5C+%5C+b%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B360%7D%3B%5C+%5C+a%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B140%7D)
Și revenind la notația inițială avem:
![x=140\ min=2 h\ 20\ min x=140\ min=2 h\ 20\ min](https://tex.z-dn.net/?f=x%3D140%5C+min%3D2+h%5C+20%5C+min)
![y=360\ min=6\ h y=360\ min=6\ h](https://tex.z-dn.net/?f=y%3D360%5C+min%3D6%5C+h)
![z=720\ min=12\ h z=720\ min=12\ h](https://tex.z-dn.net/?f=z%3D720%5C+min%3D12%5C+h)
y= timpul în care umple bazinul al doilea robinet dacă curge singur; (în minute)
z= timpul în care umple bazinul al treilea robinet dacă curge singur; (în minute)
C=capacitatea bazinului (în litri)
Debitul unui robinet este (cantitatea de apă - în litri - ce curge în unitatea de timp minut).
Debitul primului robinet este:
Într-un anumit număr N de minute, printr-un robinet curg N·D litri de apă, unde D este debitul său. Deci:
Facem notațiile:
Adunăm ultimele trei ecuații, apoi împărțim ecuația obținută la 2 și obținem:
Înlocuim pe rând câte o ecuație din (2) în (3) și obținem:
Și revenind la notația inițială avem:
Alte întrebări interesante
Matematică,
9 ani în urmă
Matematică,
9 ani în urmă
Matematică,
9 ani în urmă
Limba română,
9 ani în urmă
Limba română,
9 ani în urmă
Matematică,
10 ani în urmă
Matematică,
10 ani în urmă