Question

Trigonometrie (ex. 19, 20, 21)

Answer 1

19. Asa cum a spus si greeneyes, in acel cadran tg poate lua doar valori negative. Dar daca enuntul ar fi spus ca este egal cu -3/4, uite cum ai putea rezolva.
Ai scrie tg drept sin/cos si enuntul s-ar transforma in:
$\frac{sinx}{cosx} = - \frac{3}{4}$
trecand totul intr-o parte vei avea
4sinx + 3cosx = 0

Acum poti sa te mai folosesti si de formula fundamentala
$sin^{2} x + cos^{2} x = 1$
Si daca le pui la un loc au un sistem de 2 ecuatii cu 2 necunoscute.
Ca sa fie mai usor de scris, notez sinx = a si cosx = b

Din prima ecuatie scoatem sinx si avem
a = -3/4b si inlocuim in a doua
$\frac{9}{16}b^{2} + b^{2} = 1$
$b^{2} = 16/25$
Acum daca extragem radicalul am avea 2 numere, dar pentru ca b (cosx) este in cadranul 4, poate avea doar numere pozitive, asa solutia aici este
cosx = $\frac{4}{5}$
Acum inlocuim in prima ecuatie si avem
sinx = $- \frac{3}{5}$

20. Aici putem proceda cam la fel, notezi sinx=a, cosx=b si scriem tg si ctg in functie de a si b

$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{4}{ \sqrt{3} }$
Acum inmultim pe rand cu a si cu b, in stanga ne va rezulta
$a^{2} + b^{2}$ care este 1, asa ca avem
$1 = \frac{4ab}{ \sqrt{3} }$
Si ne folosim din nou de formula fundamentala si avem un nou sistem cu 2 necunoscute. Din aceasta ecuatie scoatem in functie de b si inlocuim in a doua
b = $\frac{ \sqrt{3}a }{4}$

3/16*a^2 + a^2 = 1
19/16*a^2 = 1
a^2 = 16/19 => a = +-$\frac{4}{ \sqrt{19} }$, dar fiind in primul cadran a (adica sinx) va lua doar valori pozitive, asa ca sinx = $\frac{4}{ \sqrt{19} }$

21. Pentru acest exercitiu poti folosi o formula pentru pentru suma a 2 sinusuri.
Ea arata cam asa
sinx + siny = $2sin \frac{x+y}{2} cos \frac{x-y}{2}$

Si chiar semnele de pe carte te ajuta sa le grupezi. La numarator, poti lua pe primul si pe ultimul si vei avea
sin2x + sin6x = 2sin(4x)cos(-2x)
cum cos este o functie para cos(-2x) = cos(2x)
La numitor vei lua la fel, primul si ultimul:
sin3x + sin5x = 2sin(4x)cos(2x)

Si vei vedea ca numaratorul si numitorul se simplifica asa ca in final:
E(x) = 1