Question

Triunghi ABC echilateral, AB=8cm , A ∈ α (planului alfa) , Ungiul format de AB si AC cu α = 45 grade. Sa se afle Proiectia triunghiului ABC pe α, Aria lui ABC si Perimetrul lui ABC, si sa se demonstreze ca BC este paralel cu planul α. Daca nu stiti sa rezolvati problema faceti macar figura 

Answer 1

Am notat cu B' si C' proiectiile lui B, respectiv C pe planul α.

Asadar triunghiul AB'C' este proiectia triunghiului ABC pe planul α.

Deci m(< CAC')=45 grade in triunghiul ACC' dreptunghic in C', deci m(<ACC')=45 grade, deci triunghiul ACC' este dreptunghic isoscel.

Notam a=AC'=CC'. Din Teorema lui Pitagora avem:
$8^{2} = C'A^{2} + C'C^{2}$
$8^{2} = a^{2} + a^{2}$
$64 = 2* a^{2}$
$32 = a^{2}$
a=$4 \sqrt{2}$ cm

Analog, pentru ABB' dreptunghic isoscel gasim
AB'=B'B=$4 \sqrt{2}$ cm

Deci, in triunghiul AB'C' avem AB'=AC'=$4 \sqrt{2}$ cm, prin urmare triunghiul AB'C' este triunghi isoscel.

Cum BB' si CC' sunt perpendiculare pe planul α, inseamna ca ele sunt paralele si am gasit ca sunt si egale ca marime, deci BCC'B' este dreptunghi, deci BC||B'C', iar B'C' este inclusa in planul α, deci BC||planul α.

Perimetrul lui ABC=8*3=24 cm

Pentru arie, stim ca inaltimea unui triunghi echilateral este=(latura*$\sqrt{3}$)/2, iar aria=(latura*inaltimea)/2, deci:
Aria lui ABC=(8*8$\sqrt{3}$)/4=16$\sqrt{3}$ $cm^{2}$.

Desenul este in fisierul atasat.