Question

Triunghiul ABC are AB = 9 cm si AC = 12 cm si BC = 15 cm. In punctul B se construieste BM⊥(ABC) astfel incat BM = 15 cm.

a) Aratati ca m(BAC) = 90° ;
b) Determinati m(MC ; (ABC)) ;
c) Calculati d(M ; AC) ;
d) Calculati d(B ; (MAC)).

Answer 1

Răspuns

Explicație pas cu pas:

laturile sunt intr-o relatie pitagoreica, , adica:

    a. BC²=AC²+AB² (225=144+81) si conform teoremelor de la triunghiul dreptunghic avem m(BAC)=90

    b. m(MC, (ABC))=?

MB perpendiculara pe planul ABC, implica faptul ca BC este chiar proiectia dreptei MC pe planul ABC, ceea ce arata ca masura unghiului dintre MC si plan, m(MC, (ABC))=m(MCB)

Dar triunghiul MCB este dreptunghic isoscel (MB perpendiculara pe planul ABC, deci pe toate dreptele din plan, inclusiv BC, iar MC≡BC). Atunci  m(MCB)=45°=m(MC, (ABC))

    c. Avem MB perpendiculara pe planul ABC, deci pe toate dreptele din plan!

MB⊥BA

BA⊥AC si deci conform teoremei celor trei perpendiculare, avem MC⊥AC, deci d(M,AC)=MC

triunghiul MBC este dreptunchic in B si :

MC²=MB²+bc²=225+225   MC=15√2 cm

d. ducem inaltimea BK in triunghiul MBA

in triunghiul MAC ducem perpendiculara KR pe latura MA (care va fi evident paralela cu AC.) Deci KR⊥MA  si KR⊥BA ceea ce implica KR⊥MAB, deci pe planul MAB, deci KR⊥BK

atunci am ajuns ca BK⊥MA si BK⊥KR si atunci BK fiind perpendiculara pe 2 drepte concurente din planul (MAC), deci reprezinta BK=d(B;(MAC))

lungimea lui BK se afla din triunghiul dreptunghic BMA

MA=√306

BK=BM*BA/MA=15*9/√306