Question

Triunghiul ABC are m(A)=90° și m(C)=30°. Bisectoarea ABC intersectează paralela prin A la BC în D.
a) Arătați ca ABCD este trapez isoscel
b)Daca BC=10cm,calculați perimetrul trapezului ABCD

Answer 1

a)Daca m(∡BAC)=90° si m(∡ACB)=30° =>m(∡ABC)=60°
Daca BD este bisectoarea unghiului ABC =>m(∡ABD)=m(∡DBC)=30°.
Notam intersectia BD si AC cu O.
Observam ca ∡OBC≡∡OCB (30°) =>ΔOBC este isoscel =>OB≡OC
Observam ca ∡BOA≡∡COD (opuse la varf si egale cu 60°) =>ΔBOA≡ΔCOD =>AO≡OD si ∡BAO≡∡ODC =>ΔBDC este dreptunghic =>m(∡BCD)=60°
=>unghiurile de la baza trapezului, ABC si BCD, sunt egale cu 60°, deci congruente =>trapezul ABCD este isoscel - ceea ce era de demonstrat

b)In Δdr.BAC, avem un unghi de 30° =>cateta opusa acestui unghi este jumatate din ipotenuza =>AB=5cm=CD(tocmai am demonstrat ca trapezul este isoscel)
Cu t.Pit. aflam cealalta cateta : AC²=BC²-AB² sau AC²=100-25 sau AC²=75 =>AC=5√3cm
Coboram inaltimile AA' si DD' si avem A'D'=baza mica a trapezului si m(∡BAA')=30° =>Segm. BA'=D'C=BA/2=2,5cm =>Baza mica=5cm
=>P=5+5+5+10=25cm