Question

Triunghiul ABC are măsurile unghiurilor A,B și C invers proporționale cu numerele 2,3 și, respectiv, 6.
a)Aflați măsurile unghiurilor
b) Construiți înălțimea [AM] și bisectoarea (CN.
c) Aflați măsura unghiului MPN,unde P=AM U CN
plzzz dau coroană

Answer 1

Am atasat o fotografie...

Answer 2

a) Noi știm că suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este 180°.

$\it m(\hat{A}) +m(\hat{B}) +m(\hat{C}) = 180^o$

Notăm măsurile celor trei unghiuri cu x, y, z respectiv.

x + y + z = 180°     (1)

{x, y, z} invers propor'ionale cu {2, 3, 6} ⇒ 2x = 3y = 6z = k     (2)

Din relația  (2) obținem :

[tex]\it x=\dfrac{k}{2},\ \ y=\dfrac{k}{3}, \ \ z=\dfrac{k}{6}\ \ \ \ (3) \\\;\\ \\\;\\ (1),\ (3) \Rightarrow \dfrac{^{3)}k}{\ 2}+\dfrac{^{2)}k}{\ 3}+\dfrac{k}{6} =180^o\Rightarrow \dfrac{3k+2k+k}{6} =180^o \Rightarrow \\\;\\ \\\;\\ \Rightarrow \dfrac{6k}{6}=180^o \Rightarrow k=180^o\ \ \ \ (4)[/tex]

Din relațiile (3), (4) rezultă:

x=180°/2 = 90°,  y = 180°/3 = 60°,  z = 180°/6 = 30°

Prin urmare, triunghiul ABC este dreptunghic în A, fiind un triunghi

dreptunghic particular, (30°,  60°,  90°).


b) Desenăm triunghiul ABC, așezat pe ipotenuză, apoi ducem AM⊥BC,

cu M pe BC, iar  AM este înălțimea corespunzătoare ipotenuzei.

Scriem 60° pe unghiul B.

Pentru a duce bisectoarea unghiului C, vom marca acest unghi cu un arc

de cerc, fixăm un punct pe mijlocul arcului, apoi unim C cu punctul fixat

și prelungim până intersectăm AB în N.

(CN - bisectoare ⇒ m(∡NCB) = m(∡NCA) = 30°/2 = 15°.

Scriem 15°pe unghiurile din C.

c)

În triunghiul ANC, dreptunghic în A, m(∡ANC) = 75° (complementul lui NCA)

În triunghiul MAB, dreptunghic în M, m(∡MAB) = 30° (complementul lui B).

Notăm AM ∩ CN = {P}.

∡MPN este unghi exterior triunghiului ANP, deci măsura lui va fi egală cu

 suma măsurilor unghiurilor interioare  neadiacente lui.

m(∡MPN) = m(∡PAN) + M(∡ANP) = 30° + 75° = 105°