Question

Triunghiul ABC cu m(A)=60° si m(B)=45° este înscris în cercul de raza 4√6 . Calculați perimetrul și aria triunghiului

Answer 1

$\frac{a}{sin60}=2R \\ \frac{2a}{ \sqrt{3} }=2R \\ \frac{a }{ \sqrt{3} }=R \\ a=4 \sqrt{6}* \sqrt{3}=12 \sqrt{2} \\ \frac{b}{sin45} =2R;b=4 \sqrt{6}* \sqrt{2}=8 \sqrt{3} \\ \frac{c}{sin75}=2R \\ \frac{4c}{ \sqrt{2}+ \sqrt{6} } =2R \\ c= \frac{ \sqrt{2}+ \sqrt{6} }{2} \\ P=a+b+c=12 \sqrt{2}+8 \sqrt{3}+ \frac{ \sqrt{2}+ \sqrt{6} }{2}$

Answer 2

Cu teorema sinusurilor vom determina AC și BC

BC/sinA = 2R ⇒ BC = 2RsinA = 2·4√6 sin 60° = 2·4√6(√3/2) = 4√18=

=4√(9·2) = 4·3√2 =12√2

AC/sinB = 2R ⇒ AC = 2RsinB = 2·4√6 sin 45° = 2·4√6(√2/2) = 4√12=

=4√(4·3) = 4·2√3 =8√3


Fie CF înălțime a triunghiului, cu F pe AB.

Triunghiul FBC este dreptunghic isoscel și se determină imediat:

FC= FB = 12

Triunghiul FCA este de forma (30°, 60°, 90°) și determinăm, cu teorema unghiului de 30°, AF = AC/2 = 8√3/2 = 4√3

AB = FB+FA = 12+4√3

Aria(ABC) = AB·CF/2 = (12+4√3)·12/2 = 6(12+4√3) = 24(3+√3)

Perimetrul = AB+AC+BC = 12+4√3 +8√3+12√2 = 12 +12√3 +12√2=

=12(1+√2 +√3)