Question

Triunghiul ABC este dreptunghic in A, AD este inaltime, D ∈ BC, si ∡B = 30°. Daca BD = 6 cm, calculati perimetrul si aria triunghiului ABC.
ESTE URGENTT!!!!

Answer 1

Răspuns:

$P=4\sqrt{3}+12\text{ cm}\\A=8\sqrt{3}\text{ cm}^2$

Explicație pas cu pas:

Folosim cosinus în unghiul $ABC$ ca să aflăm latura $AB$ (ipotenuza $\triangle ABD$):

$\substack{\cos{\sphericalangle ABD}=\frac{BD}{AB}\\m{\sphericalangle ABD}=30\°} \right \} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{6}{AB} \Rightarrow \sqrt{3}\cdot AB = 6\cdot 2\Rightarrow \\\Rightarrow AB=\frac{12}{\sqrt{3}}=\frac{12\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}$

Folosim tangenta în același unghi pentru a afla $AC$:

$\substack{\tan{\sphericalangle ABC}=\frac{AC}{AB}\\m\sphericalangle ABC=30\°} \} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{AC}{4\sqrt{3}} \Rightarrow AC\sqrt{3}=4\sqrt{3}\\\Rightarrow AC=4\text{ cm}$

Folosim teorema lui Pitagora pentru a afla $BC$:

$\text{Ipotenuza}^={\text{Cateta}_1}^2+{\text{Cateta}_2}^2\\\Rightarrow BC^2 = AB^2 + AC^2 \Rightarrow\\\Rightarrow BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{(4\sqrt{3})^2+4^2}=\sqrt{16\cdot3+16}=\sqrt{16\cdot4}=4\cdot2=\\=8\text{ cm}$

În sfârșit, putem afla perimetrul și aria triunghiului:

$P=AB+AC+BC\\=4\sqrt{3}+4+8=4\sqrt{3}+12\text{ cm}$

$A=\frac{\text{Cateta}_1\cdot\text{Cateta}_2}{2}=\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{4\sqrt{3}\cdot4}{2}=8\sqrt{3}\text{ cm}^2$

Funcțiile trigonometrice (sin, cos, tan, ctg) și t. lui Pitagora, t. înălțimii, t. catetei pot fi aplicate doar în triunghiuri dreptunghice!